2018년 10월 가형 28번

28. 그림과 같이 주머니에 ⭐️ 모양의 스티거가 각각 $1$$1$개씩 붙어 있는 카드 $2$$2$장과 스티커가 붙어 있지 않은 카드 $3$$3$ 장이 들어 있다.

이 주머니를 사용하여 다음의 시행을 한다.

주머니에서 임의로 $2$$2$장의 카드를 동시에 꺼낸 다음, 꺼낸 카드에 ⭐️ 모양의 스티커를 각각 $1$$1$개씩 붙인 후 다시 주머니에 넣는다.

위의 시행을 $2$$2$번 반복한 뒤 주머니 속에 ⭐️ 모양의 스티커가 $3$$3$개 붙어 있는 카드가 들어 있을 확률은 $\frac{q}{p}$$\cfrac qp$이다. $p+q$$p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$$p$와 $q$$q$는 서로소인 자연수이다.)

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i. 생각

• ⭐️ 스티커 $3$$3$개가 붙어 있는 카드의 가능한 장수는 $1$$1$장 또는 $2$$2$장이다.

• ⭐️ 스티커 $3$$3$개가 붙어 있는 카드가 $2$$2$장일 때,

  연속해서 ⭐️모양의 스티커가 붙어 있는 카드를 선택하면 된다.

  $\therefore \frac{{}_2{C}_2}{{}_5{C}_2}\times \frac{{}_2{C}_2}{{}_5{C}_2}=\frac{1}{100}$$\therefore~ \cfrac {{}_2C_2}{{}_5C_2} \times \cfrac {{}_2C_2}{{}_5C_2}=\cfrac 1{100}$

• ⭐️ 스티커 $3$$3$개가 붙어 있는 카드가 $1$$1$장일 때

  • 경우 1

    $1$$1$회 : ⭐️ 스티커가 붙은 카드만 선택한 후 : $\frac{{}_2{C}_2}{{}_5{C}_2}$$\cfrac {{}_2C_2}{{}_5C_2}$

    $2$$2$회 : ⭐️ 스티커가 붙은 카드 한개와 붙지 않은 카드 $1$$1$개를 택하는 경우 : $\frac{{}_2{C}_1{\times }_3{C}_1}{{}_5{C}_2}$$\cfrac {{}_2C_1\times _3C_1}{{}_5C_2}$

    $\therefore \frac{6}{100}$$\therefore~ \cfrac {6}{100}$

  • 경우 2

    $1$$1$회 : ⭐️ 스티커 붙은 카드 하나와 붙지 않은 카드 1개를 선택한 후 : $\frac{{}_2{C}_1{\times }_3{C}_1}{{}_5{C}_2}$$\cfrac{{}_2C_1\times _3C_1}{{}_5C_2}$

    $2$$2$회 : ⭐️ 스티커 $2$$2$개 붙은 카드와 나머지 아무거나 선택하는 경우 : $\frac{{}_1{C}_1{\times }_4{C}_1}{{}_5{C}_2}$$\cfrac {{}_1C_1\times _4C_1}{{}_5C_2}$

    $\therefore \frac{24}{100}$$\therefore~ \cfrac{24}{100}$

$\therefore \frac{1+6+24}{100}=\frac{31}{100}$$\therefore~ \cfrac {1+6+24}{100}=\cfrac {31}{100}$

$\therefore p+q=131$$\therefore~ p+q=131$