2020년 04월 가형 21번

21. 자연수 $k$$k$에 대하여 집합 $A_k$$A_k$를

$$A_k=\{\sin \frac{2(m-1)}{k}\pi |m\text{은 자연수}\}$$

라 할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고르시오.

ㄱ. $A_3=\{-\frac{\sqrt{3}}{2},0,\frac{\sqrt{3}}{2}\}$$A_3=\big\{ -\cfrac {\sqrt 3}2 ,~0,~\cfrac {\sqrt 3}2\Big\}$

ㄴ. $1$$1$이 집합 $A_k$$A_k$의 원소가 되도록 하는 두 자리 자연수 $k$$k$의 개수는 $22$$22$이다.

ㄷ. $n(A_k)=11$$n(A_k)=11$을 만족시키는 모든 $k$$k$의 값의 합은 $33$$33$이다.

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i.ㄱ

• $A_3=\{\sin \frac{2(m-1)}{3}\pi |m\text{은 자연수}\}$$A_3=\Big\{ \sin \cfrac {2(m-1)}3\pi \Big| m\text{은 자연수}\Big\}$

  $m=1⟶\sin 0=0$$m=1\quad\longrightarrow \quad \sin 0=0$

  $m=2⟶\sin \frac{2}{3}\pi =\frac{\sqrt{3}}{2}$$m=2\quad\longrightarrow \quad \sin \cfrac 23\pi =\cfrac {\sqrt 3}2$

  $m=3⟶\sin \frac{4}{3}\pi =-\frac{\sqrt{3}}{2}$$m=3\quad\longrightarrow \quad \sin \cfrac 43\pi =-\cfrac {\sqrt 3}2$

  $m=4⟶\sin 2\pi =0$$m=4\quad \longrightarrow \quad \sin 2\pi =0$

True

ii. ㄴ

• $\frac{2(m-1)}{k}\pi =2n\pi +\frac{\pi }{2}$$\cfrac {2(m-1)}k \pi =2 n\pi +\cfrac {\pi}2$의 형태를 만족시켜야 한다. (단, $n$$n$은 정수)

  $\frac{2(m-1)}{k}=\frac{4n+1}{2}$$\cfrac {2(m-1)} k=\cfrac {4n+1}2$

  $4(m-1)=(4n+1)k$$4(m-1)=(4n+1)k$

  $(m-1)$$(m-1)$은 $0$$0$이상의 정수로 곧 $(4n+1)k$$(4n+1)k$는 $4$$4$의 배수이다.

  $\therefore k$$\therefore~ k$는 $4$$4$의 배수

• $k=12,16,20,\cdots ,96$$k=12,~16,~20,~\cdots ,~96$

  $a_n=4n+8$$a_n=4n+8$이라 하면,

  $a_{22}=88+8=96$$a_{22}=88+8=96$

$\therefore k$$\therefore~ k$의 개수는 $22$$22$개

True

iii. ㄷ

• 대칭으로 나타날 경우

  1. $1\in A_k$$1\in A_k$인 경우

     

     $-1<y<1,y\ne 0$$-1<y<1,~y\neq 0$ 사이에 $8$$8$개의 직선이 존재하면 된다. ($y=0,1,-1$$y=0,~1,~-1$은 항상 포함)

     즉, $0<x<2\pi$$0<x< 2{\pi}$에 $11$$11$개의 값이 포함되면 된다.

     $\frac{2(m-1)}{k}=0,\frac{1}{10},\frac{2}{10},\frac{3}{10},\frac{4}{10},\frac{5}{10},\frac{6}{10},\cdots ,\frac{9}{10},1$$\cfrac {2(m-1)}k=0,~\cfrac 1{10},~\cfrac 2{10},~\cfrac 3{10},~\cfrac 4{10},~\cfrac 5{10},~\cfrac6{10},~\cdots,~\cfrac 9{10},~1$를 만족하면 된다.

     이를 전부 표현가능한 경우는

     $\frac{2(m-1)}{k}=\frac{n}{10}$$\cfrac {2(m-1)}k=\cfrac n{10}\quad$(단, $n$$n$은 $0$$0$ 이상의 정수)

     $n=m-1$$n=m-1$이므로,

     $\therefore k=20$$\therefore~ k=20$

  2. $1\notin A_k$$1\notin A_k$인 경우

     

     $\frac{2(m-1)}{k}=0,\frac{1}{11},\frac{2}{11},\cdots ,\frac{10}{11},1$$\cfrac {2(m-1)}k=0,~\cfrac 1{11},~\cfrac 2{11},~\cdots,~\cfrac {10}{11},~1$

     $\frac{2(m-1)}{k}=\frac{n}{11}$$\cfrac {2(m-1)}k=\cfrac n{11}\quad$(단, $n$$n$은 $0$$0$ 이상의 정수)

     $n=m-1$$n=m-1$이므로,

     $\therefore k=22$$\therefore~ k=22$

  얼래? 이것만으로도 이미 $33$$33$보다 커지는데?

• 비대칭으로 나타날 경우

  열린 구간 $[0,2\pi )$$[0,~2\pi)$를 $11$$11$개로 나누면 된다.

  $\frac{2(m-1)}{k}=\frac{2n}{11}$$\cfrac {2(m-1)}k=\cfrac {2n}{11}\quad$(단, $n$$n$은 $0$$0$이상의 정수)

  $n=m-1$$n=m-1$과 일치하므로,

  $k=11$$k=11$

$\therefore 22+11+20=53$$\therefore~ 22+11+20=53$

False