2020년 03월 가형 29번

29. 자연수 $n$$n$에 대하여 두 점 $A(0,n+5),B(n+4,0)$$A(0,~n+5),~B(n+4,~0)$과 원점 $O$$O$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $AOB$$AOB$가 있다. 삼각형 $AOB$$AOB$의 내부에 포함된 정사각형 중 한 변의 길이가 $1$$1$이고 꼭짓점의 $x$$x$ 좌표와 $y$$y$ 좌표가 모두 자연수인 정사각형의 개수를 $a_n$$a_n$이라 하자. $\sum _{n=1}^8{a}_n$$\sum\limits_{ n=1}^8a_n$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• $\overline{AB}$$\overline{ AB}$의 직선의 방정식을 생각하고, 이 직선이 격자점을 지나는 지 확인해보자.

  $y=-\frac{n+5}{n+4}x+n+5$$y=-\cfrac {n+5}{n+4}x+n+5$

  다시 정리하면,

  $y=-(1+\frac{1}{n+4})x+(n+5)$$y=-(1+\cfrac 1{n+4} )x+(n+5)$

  $x=n+4$$x=n+4$가 되어야 한다. $n$$n$의 값이 $1$$1$부터 $8$$8$까지 움직이고, 이 직선의 $x$$x$절편은 $(n+4,0)$$(n+4,~0)$이니까 점 $A,B$$A,~B$를 제외하고 격자점은 없다.

• 이제 $n=1$$n=1$부터 대입하면서 규칙을 찾도록 하자.

  • $n=1$$n=1$

    $y=-\frac{6}{5}x+6$$y=-\cfrac 65 x+6$

    꼭짓점의 좌표가 자연수인 정사각형의 개수를 세자

    왼쪽 위의 꼭짓점을 기준으로 생각하면,

    $x=1$$x=1$일 때, $(1,2)$$(1,~2)$부터 $(1,3)$$(1,~3)$

    $x=2$$x=2$일 때, $(2,2)$$(2,~2)$

    $a_1=1+2$$a_1=1+2$

  • $n=2$$n=2$

    $y=-\frac{7}{6}x+7$$y=-\cfrac 76x +7$

    $x=1$$x=1$일 때, $3$$3$개

    $x=2$$x=2$일 때, $2$$2$개

    $⋮$$\quad \vdots$

    $x=4$$x=4$일 때, $0$$0$개

    $a_2=1+2+3$$a_2=1+2+3$

  • $n=3$$n=3$일 때에는?

    $a_3=1+2+3+4$$a_3=1+2+3+4$

  $\therefore a_n=\sum _{k=1}^{n+1}k=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$$\therefore~ a_n=\sum\limits_{ k=1}^{n+1}k=\cfrac{(n+1)(n+2)}2$

• $\sum _{n=1}^8{a}_n$$\sum\limits_{ n=1}^8a_n$을 구하자.

  $a_n=\frac{n^2+3n+2}{2}$$a_n=\cfrac {n^2 +3n+2}2$

  $\begin{array}{rl}\sum _{n=1}^8\{\frac{n^2}{2}+\frac{3}{2}n+1\}& =\frac{1}{2}\cdot \frac{8\cdot .9\cdot 17}{6}+\frac{3}{2}\cdot \frac{8\cdot 9}{2}+8\\ \\ & =102+54+8\\ \\ & =164\end{array}$$\begin{aligned} \sum\limits_{ n=1}^8\big\{ \cfrac {n^2 }2 +\cfrac 32 n +1\big\}&=\cfrac 12 \cdot \cfrac {8\cdot. 9\cdot 17}6+\cfrac 32 \cdot \cfrac {8\cdot 9}2 +8\\ \\ &=102+54+8 \\ \\ &=164\end{aligned}$

$\therefore \sum _{n=1}^8{a}_n=164$$\therefore~ \sum\limits_{ n=1}^8a_n=164$