2021학년도 11월 나형 21번

21. 수열 $\{a_n\}$$\{a_n\}$은 $0<a_1<1$$0<a_1<1$이고, 모든 자연수 $n$$n$에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $a_{2n}=a_2\times a_n+1$$a_{2n} =a_2\times a_n +1$

(나) $a_{2n+1}=a_2\times a_n-2$$a_{2n+1} =a_2\times a_n-2$

$a_7=2$$a_7=2$일 때, $a_{25}$$a_{25}$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• $a_{25}$$a_{25}$부터 거꾸로 유추하여 어떠한 값이 필요한 지 알아보자.

  • $n=12$$n=12$

    $a_{24}=a_2\cdot a_{12}+1$$a_{24}=a_2\cdot a_{12} +1$

    $a_{25}=a_2\cdot a_{12}-2$$a_{25}=a_2\cdot a_{12}-2$

  • $n=6$$n=6$

    $a_{12}=a_2\cdot a_6+1$$a_{12}=a_2\cdot a_6+1$

    $a_{13}=a_2\cdot a_6-2$$a_{13}=a_2\cdot a_6-2$

  • $n=3$$n=3$

    $a_6=a_2\cdot a_3+1$$a_6 =a_2\cdot a_3 +1$

    $a_7=a_2\cdot a_3-2=2$$a_7=a_2\cdot a_3 -2=2$

    오!

    $a_2\cdot a_3=4$$a_2\cdot a_3 =4$

    $a_6=5$$a_6=5$

  • $n=2$$n=2$

    $a_4=(a_2{)}^2+1$$a_4=(a_2)^2 +1$

    $a_5=(a_2{)}^2-2$$a_5=(a_2)^2 -2$

  • $n=1$$n=1$

    $a_2=a_2\cdot a_1+1$$a_2=a_2\cdot a_1+1$

    $a_3=a_2\cdot a_1-2$$a_3=a_2\cdot a_1-2$

    $a_1,a_2$$a_1,~a_2$를 구하면 다 구할 수 있네...

  $a_2\cdot a_3=4$$a_2\cdot a_3=4$를 이용해야하는데...어?

  $a_2=a_2\cdot a_1+1$$a_2=a_2\cdot a_1+1$

  $a_3=a_2\cdot a_1-2$$a_3=a_2\cdot a_1-2$

  이 두 식을 곱하면?

  $4=(a_2{a}_1{)}^2-(a_1{a}_2)-2$$4=(a_2a_1)^2 -(a_1a_2)-2$

  $a_1{a}_2$$a_1a_2$에 대해 풀면, $a_1{a}_2=-2,3$$a_1a_2=-2,~3$

• $a_1{a}_2=-2$$a_1a_2=-2$일 때,

  $a_2=-2+1=-1$$a_2=-2+1=-1$

  $a_1=2$$a_1=2$

  조건에 위배

• $a_1{a}_2=3$$a_1a_2=3$일 때,

  $a_2=3+1=4$$a_2=3+1=4$

  $4=4a_1+1$$4=4a_1+1$

  $a_1=\frac{3}{4}$$a_1=\cfrac 34$

• 이제 거꾸로 올라가자.

  $a_{12}=21$$a_{12}=21$

  $a_{25}=4\cdot 21-2=82$$a_{25}=4\cdot 21-2=82$

$\therefore a_{25}=82$$\therefore~ a_{25}=82$