2020년 07월 나형 21번

21. 첫째항이 양수이고 공차가 $-1$$-1$보다 작은 등차수열 $\{a_n\}$$\{a_n\}$에 대한 수열 $\{b_n\}$$\{b_n\}$은 다음과 같다.

$$\begin{array}{c}{b}_n=\{\begin{array}{ll}{a}_{n+1}-\frac{n}{2}& (a_n\ge 0)\\ \\ a_n+\frac{n}{2}& (a_n<0)\end{array}\end{array}$$

수열 $\{b_n\}$$\{b_n\}$의 첫째항부터 제$n$$n$항까지의 합을 $S_n$$S_n$이라 할 때, 수열 $\{b_n\}$$\{b_n\}$은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $b_5<b_6$$b_5<b_6$

(나) $S_5=S_9=0$$S_5=S_9=0$

$S_n\le -70$$S_n\le -70$을 만족시키는 자연수 $n$$n$의 최솟값을 구하시오.

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i. 생각

• 수열 $\{a_n\}$$\{a_n\}$을 생각해보자.

  • 수열은 감소한다. 그럼?

    분명 어떤 연속된 항에서 부호가 바뀌는 경우가 발생할 것이다

    $a_k\ge 0a_{k+1}<0$$a_k\ge 0\quad a_{k+1}<0$

    이를 이용해서 조건 (가)를 적용해볼까?

• 조건 (가)를 이용하자.

  • $k=4$$k=4$일 때, ($a_4\ge 0,a_5<0)$$a_4\ge 0,~a_5<0)$

    $b_5=a_5+\frac{5}{2}=a_1+4d+\frac{5}{2}$$b_5=a_5+\cfrac 52=a_1+4d+\cfrac 52$

    $b_6=a_6+3=a_1+5d+3$$b_6=a_6+3=a_1+5d+3$

    $\Rightarrow b_6-b_5=d-\frac{1}{2}<0$$\Rightarrow \quad b_6-b_5 =d-\cfrac 12<0$

  • $k=5$$k=5$일 때, ($a_5\ge 0,a_6<0)$$a_5\ge 0,~a_6<0)$

    $b_5=a_6-\frac{5}{2}$$b_5=a_6-\cfrac 52$

    $b_6=a_6+3$$b_6=a_6+3$

    $b_6-b_5>0$$b_6-b_5>0$

  $\therefore a_5\ge 0,a_6<0$$\therefore~ a_5\ge 0,~a_6<0$

• 이를 이용하여 조건 (나)를 이용하자.

  • $S_5=0$$S_5=0$을 이용하자.

    $b_1=a_2-\frac{1}{2}$$b_1 =a_2 -\cfrac 12$

    $b_2=a_3-1$$b_2=a_3-1$

    $b_3=a_4-\frac{3}{2}$$b_3=a_4-\cfrac 32$

    $b_4=a_5-2$$b_4=a_5 -2$

    $b_5=a_6-\frac{5}{2}$$b_5=a_6 -\cfrac 52$

    $\begin{array}{rl}{S}_5& =\sum _{k=2}^6{a}_k-\frac{15}{2}\\ \\ & =\frac{5(a_1+d+a_1+5d)}{2}-\frac{15}{2}\\ \\ & =0\end{array}$$\begin{aligned} S_5&=\sum\limits_{ k=2}^6 a_k -\cfrac {15}2\\ \\ &= \cfrac{5(a_1+d+a_1+5d)}{2}-\cfrac {15}2\\ \\ &= 0 \end{aligned}$

    $\therefore 2a_1+6d=3$$\therefore~ 2a_1+6d =3$

  • $S_9=0$$S_9=0$을 이용하자.

    $b_6=a_6+3$$b_6=a_6+3$

    $b_7=a_7+\frac{7}{2}$$b_7=a_7+\cfrac 72$

    $b_8=a_8+4$$b_8=a_8+4$

    $b_9=a_9+\frac{9}{2}$$b_9=a_9+\cfrac 92$

    $\begin{array}{rl}{S}_9& =\frac{4(a_1+5d+a_1+8d)}{2}+15\\ \\ & =4(2a_1+13d)+30\\ \\ & =0\end{array}$$\begin{aligned} S_9&=\cfrac {4(a_1+5d+a_1+8d)}{2}+15\\ \\ &=4(2a_1+13d)+30\\ \\ &=0\end{aligned}$

    $\therefore 2a_1+13d=-\frac{15}{2}$$\therefore~ 2a_1+13d=-\cfrac {15}2$

  연립하여 풀면, $a_1=6,d=-\frac{3}{2}$$a_1=6,~d=-\cfrac 32$

• $b_n$$b_n$을 구하자.

  • $a_n=6-(n-1)\frac{3}{2}=\frac{15}{2}-\frac{3}{2}n$$a_n=6-(n-1)\cfrac 32=\cfrac {15}2 -\cfrac 32n$

  • $S_n=\sum _{k=10}^n{b}_n\le -70$$S_n=\sum\limits_{ k=10}^n b_n\le -70$

    $b_{10}=a_{10}+\frac{10}{2}$$b_{10}=a_{10} +\cfrac {10}2$

    $b_{11}=a_{1}1+\frac{11}{2}$$b_{11} =a_11+\cfrac {11}2$

    $⋮$$\quad \vdots$

    $b_n=a_n+\frac{n}{2}$$b_n=a_n+\cfrac n2$

    $\therefore S_n=\frac{(n-9)(5-n)}{2}\ge -70$$\therefore~ S_n=\cfrac {(n-9)(5-n)}{2}\ge -70$

  $(n-9)(n-5)\ge 140$$(n-9)(n-5)\ge 140$

  $n=20\to 11\cdot 15\ge 140$$n=20\quad \rightarrow \quad 11\cdot 15\ge 140$

  $n=18⟶9\cdot 13<140$$n=18\quad \longrightarrow \quad 9\cdot 13< 140$

   

$\therefore n=19$$\therefore~ n=19$