2021학년도 06월 나형 21번

21. 두 곡선 $y=2^x$$y=2^x$과 $y=-2x^2+2$$y=-2x^2 +2$가 만나는 두 점을 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$$(x_1,~y_1),~(x_2,~y_2)$라 하자. $x_1<x_2$$x_1<x_2$일 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고르시오.

ㄱ. $x_2>\frac{1}{2}$$x_2>\cfrac 12$

ㄴ. $y_2-y_1<x_2-x_1$$y_2-y_1<x_2-x_1$

ㄷ. $\frac{\sqrt{2}}{2}<y_1{y}_2<1$$\cfrac {\sqrt 2}2 <y_1y_2<1$

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i. 생각

• 뭐 대충 그래프 그리고 시작하자.

  

  $f(x)=2^x,g(x)=-2x^2+2$$f(x)=2^x,~g(x)=-2x^2 +2$라 하자.

• ㄱ

  $f(\frac{1}{2})=\sqrt{2}$$f(\cfrac 12)=\sqrt 2$

  $g(\frac{1}{2})=\frac{3}{2}$$g(\cfrac 12)=\cfrac 32$

  $g(\frac{1}{2})>f(\frac{1}{2})$$g(\cfrac 12 )>f(\cfrac 12)$

  $\therefore \frac{1}{2}<x_2$$\therefore~ \cfrac 12 <x_2$

  True

• ㄴ

  부등식을 $x_2-x_1$$x_2-x_1$으로 나누면,

  $\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}<1$$\cfrac {y_2-y_1}{x_2-x_1}<1$

  이 부등식의 참$\cdot$$\cdot$거짓을 알아내면 된다.

   

  $y_2=-2x_2^2+2,y_1=-2x_1^2+2$$y_2=-2x_2^2 +2,y_1=-2x_1^2 +2$를 이용하면,

  $y_2-y_1=-2(x_2+x_1)(x_2-x_1)$$y_2-y_1=-2(x_2+x_1)(x_2-x_1)$

   

  $\therefore x_2+x_1>-\frac{1}{2}$$\therefore~ x_2+x_1>-\cfrac 12$임을 보이면 된다.

   

  우선 $x_2$$x_2$의 범위는 $\frac{1}{2}<x_2<1$$\cfrac 12 <x_2<1$

  $x_1$$x_1$의 범위도 구하자. 보기 ㄱ 을 괜히 준 건 아닐테니

  $f(-\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{2}}{2},g(-\frac{1}{2})=\frac{3}{2}$$f(-\cfrac 12)=\cfrac {\sqrt 2}2,~ g(-\cfrac 12)=\cfrac 32$

  $f(-\frac{1}{2})<g(-\frac{1}{2})$$f(-\cfrac 12)<g(-\cfrac 12)$

  $\therefore -1<x_2<-\frac{1}{2}$$\therefore~ -1<x_2<-\cfrac 12$

   

  $\therefore -\frac{1}{2}<x_1+x_2<\frac{1}{2}$$\therefore~ -\cfrac 12 <x_1+x_2<\cfrac 12$

  True

• ㄷ

  • $y_1=2^{x_1},y_2=2^{x_2}$$y_1=2^{x_1},~y_2=2^{x_2}$라 하면,

    $y_1{y}_2=2^{x_1+x_2}$$y_1y_2=2^{x_1+x_2}$

    $\frac{\sqrt{2}}{2}<y_1{y}_2<\sqrt{2}$$\cfrac {\sqrt2}2 <y_1y_2<\sqrt 2$

    얼...더 작은 걸 보여야하네...

  • 그래프 상으로도 확인하면 $|x_1|>|x_2|$$|x_1|>|x_2|$이다. ($\because g(x)$$\because~g(x)$는 $y$$y$ 축 대칭을 이용)

    $x_2=-x_1-\alpha (0<\alpha )$$x_2=-x_1-\alpha ~(0<\alpha)$으로 표현할 수 있다.

    $2^{x_1+x_2}=2^{x_1-x_1-\alpha }=2^{-\alpha }$$2^{x_1+x_2}=2^{x_1-x_1-\alpha }=2^{-\alpha }$

    $-\alpha <0$$-\alpha <0$

    $2^{-\alpha }<1$$2^{-\alpha }<1$

  되긴 하네...

  True