2020년 03월 나형 29번

29. 그림과 같이 예각삼각형 $ABC$$ABC$가 한 원에 내접하고 있다. $\overline{AB}=6$$\overline{ AB}=6$이고, $\mathrm{\angle }ABC=\alpha$$\angle ABC=\alpha$라 할 때 $\cos \alpha =\frac{3}{4}$$\cos \alpha =\cfrac 34$이다. 점 $A$$A$를 지나지 않은 호 $BC$$BC$ 위의 점 $D$$D$에 대하여 $\overline{CD}=4$$\overline{ CD}=4$이다.

두 삼각형 $ABD,CBD$$ABD,~CBD$의 넓이를 각각 $S_1,S_2$$S_1,~S_2$라 할 때, $S_1:S_2=9:5$$S_1:S_2=9:5$이다. 삼각형 $ADC$$ADC$의 넓이를 $S$$S$라 할 때, $S^2$$S^2$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• 원주각을 표시하고 닮음을 찾도록 하자.

  

  $\mathrm{△}ABE\sim \mathrm{△}DCE$$\triangle ABE \sim \triangle DCE$이고 닮음비는 $3:2$$3:2$ 그리고 넓이의 비는 $9:4$$9:4$

  편의상 $\mathrm{△}ABE=9k,\mathrm{△}DCE=4k$$\triangle ABE=9k,~\triangle DCE=4k$라 하고 $\mathrm{△}BDE=\alpha$$\triangle BDE=\alpha$라 하자.

  $(\alpha +9k):(\alpha +4k)=9:5$$(\alpha +9k):(\alpha +4k)=9:5$

  $\therefore \alpha =\frac{9}{4}k$$\therefore~ \alpha=\cfrac 94k$

  숫자를 편히 보기 위해,

  $\mathrm{△}ABE=36k,\mathrm{△}DCE=16k,\mathrm{△}BDE=9k$$\triangle ABE=36k,~\triangle DCE=16k,~\triangle BDE=9k$라 하자.

• $\mathrm{△}BDA$$\triangle BDA$에서 넓이의 비를 이용하면, $\overline{DE}:\overline{EA}=1:4$$\overline{ DE}:\overline{ EA}=1:4$

  $\mathrm{△}ADC$$\triangle ADC$에도 이를 적용하면 $\mathrm{△}AEC=6k$$\triangle AEC=6k$로 표현가능하다.

  $\overline{BE}=9a,\overline{EC}=16a$$\overline{ BE}=9a,~\overline{ EC}=16a$로 표현하고,

  $\overline{DE}=b,\overline{EA}=4b$$\overline{ DE}=b,~\overline{ EA}=4b$라 하자.

  $a$$a$와 $b$$b$의 관계를 뽑으면 제$2$$2$코사인법칙을 쓸 수 있을 것 같은데?

• $\mathrm{△}ABE\sim \mathrm{△}DCE$$\triangle ABE\sim \triangle DCE$의 닮음을 이용하면,

  $b:9a=3:2$$b:9a=3:2$

  $b=\frac{27}{2}a$$b=\cfrac {27}2a$

  이것도 보기 깔끔하게 바꾸자.

  $\overline{BE}=9a,\overline{EC}=16a,\overline{DE}=6a,\overline{EA}=24a$$\overline{ BE}=9a,~\overline{ EC}=16a,~\overline{ DE}=6a,~\overline{ EA}=24a$로 바꿀 수 있다.

• $\mathrm{△}ABE$$\triangle ABE$에 대하여 코사인 제$2$$2$법칙을 이용하자.

  $(24a{)}^2=6^2+(9a{)}^2-2\cdot 6\cdot 9a\cos \alpha$$(24a)^2 =6^2 +(9a)^2 -2\cdot 6\cdot 9a\cos\alpha$

  이를 정리하면,

  $55a^2+9a-4=0$$55a^2 +9a-4=0$

  $a=\frac{1}{5}$$a=\cfrac 15$

• $\mathrm{△}ADC$$\triangle ADC$의 넓이를 구하자.

  $\begin{array}{rl}S& =\frac{1}{2}\times 4\times (30\times \frac{1}{5})\times \sin \alpha \\ \\ & =3\sqrt{7}\end{array}$$\begin{aligned} S&=\cfrac 12 \times 4\times (30\times \cfrac 15)\times \sin\alpha\\ \\ &=3\sqrt 7\end{aligned}$

$\therefore S^2=63$$\therefore~ S^2 =63$