2020년 04월 나형 20번

20. 두 함수

$$f(x)=2^x,g(x)=2^{x-2}$$

에 대하여 두 양수 $a,b(a<b)$$a,~b~(a<b)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $a+b$$a+b$의 값을 구하시오.

(가) 두 곡선 $y=f(x),y=g(x)$$y=f(x),~y=g(x)$와 두 직선 $y=a,y=b$$y=a,~y=b$로 둘러싸인 부분의 넓이가 $6$$6$이다.

(나) $g^{-1}(b)-f^{-1}(a)={\log }_{2}6$$g^{-1}(b)-f^{-1}(a)=\log_2 6$

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i. 생각

• 그래프를 그리고 생각하자.

  

  • $y=a$$y=a$와 $y=f(x),y=g(x)$$y=f(x),~y=g(x)$의 교점의 $x$$x$좌표를 각각 $x_1,x_2$$x_1,~x_2$라 하면,

    $x_2-x_1=2$$x_2-x_1=2$

    조건 (가)를 이용하면,

    $b-a=3$$b-a=3$

• 각각의 역함수를 구하고 계산하자.

  $f^{-1}(x)={\log }_{2}x$$f^{-1}(x)=\log_2 x$

  $g^{-1}(x)={\log }_{2}x+2$$g^{-1}(x)=\log_2 x+2$

   

  ${\log }_2(a+3)+2-{\log }_{2}a={\log }_{2}6$$\log_2(a+3)+2-\log_2 a=\log_2 6$

  이를 풀면,

  $a=6,b=9$$a=6,~b=9$

$\therefore a+b=15$$\therefore~ a+b=15$