2021학년도 06월 가형 21번

21. 수열 $\{a_n\}$$\{a_n\}$의 일반항은

$$a_n={\log }_2\sqrt{\frac{2(n+1)}{n+2}}$$

이다. $\sum _{k=1}^m{a}_k$$\sum\limits_{ k=1}^m a_k$의 값이 $100$$100$ 이하의 자연수가 되도록 하는 모든 자연수 $m$$m$의 값의 합을 구하시오.

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i. 생각

• $a_n$$a_n$을 정리하자.

  $a_n=\frac{1}{2}(1+{\log }_2\frac{n+1}{n+2})$$a_n=\cfrac 12 \Big( 1+\log_2 \cfrac {n+1}{n+2}\Big)$

• $S_m$$S_m$을 구하자.

  $\begin{array}{rl}{S}_m& =\frac{m}{2}+\frac{1}{2}{\log }_2(\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{4}{5}\times \cdots \times \frac{m+1}{m+2})\\ \\ & =\frac{m}{2}+\frac{1}{2}{\log }_2(\frac{2}{m+2})\\ \\ & =\frac{m}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{\log }_2(m+2)\le 100\end{array}$$\begin{aligned}S_m&= \cfrac m2 +\cfrac 12 \log_2 \Big(\cfrac 23\cdot \cfrac 34 \cdot \cfrac 45 \times \cdots \times \cfrac {m+1}{m+2}\Big)\\ \\ &= \cfrac m2 +\cfrac 12 \log_2\Big(\cfrac 2{m+2}\Big)\\ \\ &= \cfrac m2 +\cfrac 12 -\cfrac 12 \log_2 (m+2)\le 100 \end{aligned}$

• ${\log }_2(m+2)$$\log_2 (m+2)$를 생각하자.

  ${\log }_2(m+2)$$\log_2 (m+2)$가 자연수로 나오기 위해서는

  $m+2=2^{\alpha }(\alpha$$m+2=2^{\alpha}\quad (\alpha$는 양의 정수)

  이면, $m$$m$은 짝수이다.

  그러면, ${\log }_2(m+2)$$\log_2(m+2)$는 홀수가 나와서 $\frac{1}{2}$$\cfrac 12$를 없애야한다.

  • $m+2=2^7$$m+2=2^7$

    $m=126$$m=126$

    $63+\frac{1}{2}-\frac{7}{2}$$63+\cfrac 12 -\cfrac 72$ : 자연수

  • $m+2=2^5$$m+2=2^5$

    $m=30$$m=30$

    $16+\frac{1}{2}-\frac{5}{2}$$16+\cfrac 12 -\cfrac 52$ : 자연수

  • $m+2=2^3$$m+2=2^3$

    $m=6$$m=6$

    $3+\frac{1}{2}-\frac{3}{2}$$3+\cfrac 12-\cfrac 32$ : 자연수

  • $m+2=2^1$$m+2=2^1$

    $m$$m$은 자연수가 아니다.

$\therefore 126+30+6=162$$\therefore~ 126+30+6=162$