2020학년도 06월 나형 29번

29. 다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 $x_1,x_2,x_3$$x_1,~x_2,~x_3$의 모든 순서쌍 $(x_1,x_2,x_3)$$(x_1,~x_2,~x_3)$의 개수를 구하시오.

(가) $n=1,2$$n=1,~2$일 때, $x_{n+1}-x_n\ge 2$$x_{n+1}-x_n\ge 2$이다.

(나) $x_3\le 10$$x_3\le 10$

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i. 정리

• $0\le x_1,x_2,x_3$$0\le x_1,~x_2,~x_3$
• $2\le x_2-x_1$$2\le x_2-x_1$
• $2\le x_3-x_2$$2\le x_3-x_2$

ii. 생각

• 조건을 잘 맛보고 즐겨보면, $x_1,x_2,x_3$$x_1,~x_2,~x_3$는 연속된 정수가 아니면 된다!

• 이걸 어느 세월에 다 따져...?

• 그냥 임의로 $a,b,c$$a,~b,~c$를 중복없이 뽑는다고 생각해보자.

  그런 후에 장난질을 해서 연속이 안되게 만들면 어떨까?

  예를 들어서 $(0,1,2)$$(0,~1,~2)$가 뽑히면 $(0,2,4)$$(0,~2,~4)$로 바뀌도록 말이다.

  뭐 $(1,3,7)$$(1,~3,~7)$이 뽑히면, $(1,4,9)$$(1,~4,~9)$로 만들고. (물론 $(1,2,5)$$(1,~2,~5)$가 뽑히면 $(1,3,7)$$(1,~3,~7)$이 되겠지?)

  즉, 세 수를 뽑은 후에 $(a,b,c)⟶(a,b+1,c+2)$$(a,~b,~c)\quad \longrightarrow \quad (a,~b+1,~c+2)$

• $x_3$$x_3$가 최대 $10$$10$이니까 세 수가 뽑힐 수 있는 범위는 $0,1,2,\cdots ,8$$0,~1,~2,~\cdots,~8$까지이면 된다.

  $9$$9$개의 수 중 $3$$3$개의 수를 선택하면 된다!

$\therefore {}_9{C}_3=84$$\therefore~ {}_9C_3=84$