2016년도 10월 나형 30번

30. 교내 수학경시대회에 $A$ 학급 학생 $3$명, $B$ 학급 학생 $3$명, $C$ 학급 학생 $2$명이 참가 신청하였다. 그림과 같이 두 분단, 네 줄의 좌석에 다음 조건을 만족시키도록 이 학생 $8$명을 배정하는 방법의 수를 구하시오.

(가) 같은 줄의 바로 옆에 같은 학급 학생이 앉지 않도록 배정한다.

(나) 같은 분단의 바로 앞뒤에 같은 학급 학생이 앉지 않도록 배정한다.

(다) 같은 학급 학생을 같은 분단에 배정할 경우 학급 번호가 작을수록 교탁에 가까운 자리에 배열한다.

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i. 정리

• $A-3,~B-3,~C-2$
• 같은 줄$\longrightarrow$같은 학급 $\times$
• 같은 분단$\longrightarrow$같은 학급 $\times$
• 같은 학급$\longrightarrow$순서 정해짐

ii. 생각

• 기준은 어느 것으로? $C$가 가장 수가 적다..

  • $C$ 학급이 같은 분단
  • $C$ 학급이 다른 분단

이때만 해도 몰랐다...11개나 작업할 지를....

iii. $C$ 학급이 같은 분단

불가능 불가능

가능

• $1$분단의 $A$를 선택하는 경우의 수 : ${}_3C_1$
• $1$분단의 $B$를 선택하는 경우의 수 : ${}_3C_1$
• $1$ 분단의 $A$와 $B$가 바뀌는 경우 : $2$
• $1$분단과 $2$분단이 바뀌는 경우 : $2$

$\therefore~36$

iv. $C$ 학급이 다른 분단의 경우

가능

• $1$분단의 $A$를 선택하는 경우 : ${}_3C_2$
• $1$분단의 $B$를 선택하는 경우 : ${}_3C_1$
• $1$분단의 $C$를 선택하는 경우 : ${}_2C_1$
• $A$ 와 $B$가 바뀌는 경우 : $2$
• $1$분단과 $2$분단이 바뀌는 경우 : $2$

$\therefore~72$

가능

$\therefore~72$

불가능 불가능

가능 가능

$\therefore~72\times 2$

불가능

가능

$\therefore~72$

v. 계산

$36+72\times 5=396$