2025학년도 수능 미적분 30번

30. 두 상수 $a(1\le a\le 2),b$$a~(1\le a\le 2),~b$에 대하여 함수 $f(x)=\sin (ax+b+\sin x)$$f(x)=\sin (ax+b+\sin x )$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(0)=0,f(2\pi )=2\pi a+b$$f(0)=0,~f(2\pi)=2\pi a+b$

(나) $f^{\prime }(0)=f^{\prime }(t)$$f'(0)=f'(t)$인 양수 $t$$t$의 최솟값은 $4\pi$$4\pi$이다.

함수 $f(x)$$f(x)$가 $x=\alpha$$x=\alpha$에서 극대인 $\alpha$$\alpha$에서 극대인 $\alpha$$\alpha$의 값 중 열린구간 $(0,4\pi )$$(0,~4\pi)$에 속하는 모든 값의 집합을 $A$$A$라 하자. 집합 $A$$A$의 원소의 개수를 $n$$n$, 집합 $A$$A$의 원소 중 가장 작은 값을 ${\alpha }_1$$\alpha_1$이라 하면, $n{\alpha }_1-ab=\frac{q}{p}\pi$$n\alpha_1-ab=\cfrac qp\pi$의 값을 구하시오. (단, $p$$p$와 $q$$q$는 서로소인 자연수이다.)

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i. 정리

• $f(0)=\sin (b)=0⟶b=n\pi (n\in \mathbb{Z})$$f(0)=\sin (b)=0\quad \longrightarrow \quad b=n\pi (n\in\mathbb Z)$

• $f(2\pi )=\sin (2\pi a+n\pi )=\pi (2a+n)$$f(2\pi )=\sin (2\pi a +n\pi )=\pi(2a+n)$

  눈치가 빠르면 $\sin x=x$$\sin x=x$의 교점인 걸 알 수도 있고... 이게 젤 편한 방법이긴 한데...

   

  $-1\le \sin (2\pi a+n)\le 1$$-1\le \sin (2\pi a +n)\le 1$임을 이용해보자.

  마찬가지로 $-1\le \pi (2a+n)\le 1$$-1\le \pi (2a+n)\le 1$을 만족해야한다.

  $-\frac{1}{\pi }\le 2a+n\le \frac{1}{\pi }$$-\cfrac 1{\pi} \le 2a+n\le \cfrac 1{\pi}$

  $2\le 2a\le 4$$2\le 2a \le 4$에서 $n$$n$이 정수일때 조건을 만족시키 위해서는 $2a+n=0$$2a+n=0$인 경우밖에 없다!

  $n=-2a$$n=-2a$에서 가능한 $n$$n$은 $-2,-3,-4$$-2,~-3,~-4$이고 이때 $a$$a$의 값은 $1,\frac{3}{2},2$$1,~\cfrac 32,~2$이다.

• 조건 (나)를 이용하기 위해서 미분하자.

  $f^{\prime }(x)=\cos (ax+b+\sin x)\cdot (a+\cos x)$$f'(x)=\cos(ax+b+\sin x)\cdot (a+\cos x)$

  $f^{\prime }(0)=\cos (n\pi )\cdot (a+1)$$f'(0)=\cos (n\pi)\cdot (a+1)$

  $f^{\prime }(0)=f^{\prime }(t)$$f'(0)=f'(t)$가 되는 양수 $t$$t$의 최솟값은 $4\pi$$4\pi$... 무슨 조건일까?

  대입해보면 알겠지?

  $f^{\prime }(4\pi )=\cos (4\pi a+n\pi )\cdot (a+1)$$f'(4\pi)=\cos (4\pi a+n\pi )\cdot(a+1)$

  아!

  $4\pi a=2k\pi ($$4\pi a=2k\pi \quad ($단, $k$$k$는 정수)의 형태가 되면서 $t$$t$의 최솟값이 $4\pi$$4\pi$가 되는 걸 신경쓰면 되겠다.

  • $a=1⟶k=2$$a=1\quad \longrightarrow \quad k=2$

    $b=-2\pi$$b=-2\pi$이고 $f^{\prime }(0)=2\cos (-2\pi )=2$$f'(0)=2\cos (-2\pi)=2$

    그런데, $f^{\prime }(2\pi )=\cos (2\pi -2\pi )(1+1)=2$$f'(2\pi)=\cos (2\pi-2\pi)(1+1)=2$

    조건에 위배된다.

  • $a=\frac{3}{2}⟶k=3$$a=\cfrac 32\quad \longrightarrow \quad k=3$

    $b=-3\pi$$b=-3\pi$이고 $f^{\prime }(0)=\cos (-3\pi )(\frac{3}{2}+1)=-\frac{5}{2}$$f'(0)=\cos(-3\pi)(\cfrac 32+1)=-\cfrac52$

    $f^{\prime }(2\pi )=\cos (3\pi -3\pi )(\frac{3}{2}+1)=\frac{5}{2}$$f'(2\pi)=\cos(3\pi-3\pi)(\cfrac 32+1)=\cfrac 52$

    조건을 만족시킨다.

  • $a=2⟶k=4$$a=2\quad \longrightarrow \quad k=4$

    $b=-4\pi$$b=-4\pi$이고 $f^{\prime }(0)=\cos (-4\pi )(2+1)=3$$f'(0)=\cos(-4\pi)(2+1)=3$

    $f^{\prime }(2\pi )=\cos (4\pi -4\pi )(2+1)=3$$f'(2\pi)=\cos(4\pi-4\pi)(2+1)=3$

    역시 조건에 위배된다.

  $\therefore a=\frac{3}{2},b=-3\pi$$\therefore~ a=\cfrac 32,~b=-3\pi$

$\therefore f(x)=\sin (\frac{3}{2}x-3\pi +\sin x)$$\therefore~ f(x)=\sin (\cfrac 32 x -3\pi +\sin x)$

ii. 풀자.

• $f^{\prime }(x)=\cos (\frac{3}{2}x-3\pi +\sin x)\cdot (\frac{3}{2}+\cos x)$$f'(x)=\cos (\cfrac 32x -3\pi +\sin x)\cdot (\cfrac 32 +\cos x)$

  극값을 찾기 위해 살펴보면, $\cos x+\frac{3}{2}>0$$\cos x+\cfrac 32 >0$임을 알 수 있다.

  즉, $f(x)$$f(x)$의 극대값은 $\cos (\frac{3}{2}x-3\pi +\sin x)$$\cos(\cfrac 32x -3\pi +\sin x)$에 정해지는 것을 알 수 있다.

  그리고 $h(x)=\frac{3}{2}x-3\pi +\sin x$$h(x)=\cfrac 32 x-3\pi +\sin x$라 하면, $h^{\prime }(x)=\frac{3}{2}+\cos x$$h'(x)=\cfrac 32 +\cos x$로 증가함수임을 알 수 있다.

  즉, 쉽게 말하면 $f(x)$$f(x)$의 개형은 $\cos x$$\cos x$의 그래프를 때에 따라 고무줄처럼 늘리거나 줄이면서 그려지는 함수라 극대값과 극소값이 번갈아 나온다!

  $f(x)=\cos (h(x))$$f(x)=\cos (h(x))$라고 하면 $h(x)$$h(x)$의 치역은 $(-3\pi ,3\pi )$$(-3\pi,~3\pi)$이다.

• $f^{\prime }(x)=0$$f'(x)=0$의 근을 구하자.

  $\frac{3}{2}x-3\pi +\sin x=\frac{2k-1}{2}\pi$$\cfrac 32 x-3\pi +\sin x= \cfrac {2k-1}2\pi \quad$(단, $k$$k$는 정수)

  그리고 $h(x)$$h(x)$의 치역에 따라 $k=-2,-1,0,1,2,3$$k=-2,~-1,~0,~1,~2,~3$이다. (계산 안해도 3개는 극대, 3개는 극소값이다!)

  $\therefore n=3$$\therefore~ n=3$

  어랏..문제에서 $n$$n$을 썼네....아무튼 여기서 말하는 $n$$n$이 문제에서 말하는 $n$$n$이다;;;;

  $k=-2$$k=-2$일 때 극소값을 가지므로 ${\alpha }_1=\frac{3}{2}x-3\pi +\sin x=-\frac{3}{2}\pi$$\alpha_1=\cfrac 32 x-3\pi +\sin x=-\cfrac 32\pi$에서

  ${\alpha }_1=\pi$$\alpha_1=\pi$

$\therefore n{\alpha }_1-ab=3\pi -\frac{3}{2}(-3\pi )=\frac{15}{2}\pi$$\therefore~ n\alpha_1-ab=3\pi-\cfrac 32(-3\pi)=\cfrac {15}2\pi$

$\therefore p+q=17$$\therefore~ p+q=17$