2025학년도 수능 미적분 29번

29. 등비수열 $\{a_n\}$$\{a_n\}$이 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(|a_n|+a_n)=\frac{40}{3},\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(|a_n|-a_n)=\frac{20}{3}$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \big(|a_n|+a_n\big)=\cfrac {40}3,\quad \sum\limits_{n=1}^{\infty} \Big(|a_n|-a_n\Big)=\cfrac{20}3$을 만족시킨다. 부등식 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^{2n}((-1{)}^{\frac{k(k+1)}{2}}\times a_{m+k})>\frac{1}{700}$$\lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{k=1}^{2n}\Big((-1)^{\frac{k(k+1)}2}\times a_{m+k} \Big)>\cfrac 1{700}$을 만족시키는 모든 자연수 $m$$m$의 값의 합을 구하시오.

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i. 생각

• $a_n=a{r}^{n-1}$$a_n=ar^{n-1}$로 표현가능하고 조건을 보니 $-1<r<0$$-1<r<0$임을 알 수 있다.

  편의상 $a_n=a(-r{)}^{n-1}$$a_n=a(-r)^{n-1}$이라 하자.

  그리고 주어진 무한급수의 합과 차가 양수인 걸 봐서 $a>0$$a>0$임을 때려맞출 수 있다...그치?

  그러면,

  $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n|=\frac{a}{1-r}$$\sum\limits_{ n=1}^{\infty} |a_n| =\cfrac a{1-r}$이고 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=\frac{a}{1+r}$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n=\cfrac a{1+r}$로 표현이 가능하다.

  이를 이용하면 $a,r$$a,~r$을 구할 수 있겠다...아니 그냥 구해지는 걸 뭐하러 꽁꽁 숨겨놨데....?

  뭐 대단한 난이도인가 했다.

  아무튼 빠르게 구하면, $a=5,r=\frac{1}{2}$$a=5,~r=\cfrac 12$

  $\therefore a_n=5(-\frac{1}{2}{)}^{n-1}$$\therefore~ a_n=5(-\cfrac 12)^{n-1}$

• 이제 부등식을 정리하자.

  $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^{2n}((-1{)}^{\frac{k(k+1)}{2}}\times 5(-\frac{1}{2}{)}^{m+k-1})>\frac{1}{700}$$\lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{k=1}^{2n}\Big((-1)^{\frac{k(k+1)}2}\times 5\big(-\cfrac 12)^{m+k-1} \Big)>\cfrac 1{700}$

  식을 그나마 아주 조금 보기 좋게 쓰면,

  $5(-\frac{1}{2}{)}^m\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^{2n}((-1{)}^{\frac{k(k+1)}{2}}\times (-\frac{1}{2}{)}^{k-1})>\frac{1}{700}$$5\big(-\cfrac 12)^{m}\lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{k=1}^{2n}\Big((-1)^{\frac{k(k+1)}2}\times \big(-\cfrac 12)^{k-1} \Big)>\cfrac 1{700}$

  헐...깔끔한 계산이 안되네....$(-1{)}^{\frac{k(k+1)}{2}}$$(-1)^{\frac{k(k+1)}2}$가 말썽이다....

  $\frac{k(k+1)}{2}$$\cfrac {k(k+1)}2$는 $k$$k$값에 따라 홀수와 짝수가 반복되는데 그 주기가 $4$$4$임을 알 수 있다.....

  오우...$k$$k$를 $4$$4$가지 경우로 나누는 수 밖에 없겠다...계산상의 편의를 위하여 $((-1{)}^{\frac{k(k+1)}{2}}\times (-\frac{1}{2}{)}^{k-1})$$\Big((-1)^{\frac{k(k+1)}2}\times \big(-\cfrac 12)^{k-1} \Big)$이 부분만 먼저 다루도록 하자.

  $l\in \mathbb{N}$$l\in\mathbb N$이라 하면,

  • $k=4l-3$$k=4l-3$일 때,

    $-(-\frac{1}{2}{)}^{4l-3-1}=-(-\frac{1}{2}{)}^{4(l-1)}=-(\frac{1}{2^4}{)}^{l-1}$$-(-\cfrac 12)^{4l-3-1}=-(-\cfrac12)^{4(l-1)}=-(\cfrac 1{2^4})^{l-1}$

  • $k=4l-2$$k=4l-2$일 때,

    $-(-\frac{1}{2}{)}^{4l-2-1}=-(-\frac{1}{2}{)}^{4(l-1)+1}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2^4}{)}^{l-1}$$-(-\cfrac 12)^{4l-2-1}=-(-\cfrac 12)^{4(l-1)+1}=\cfrac 12 (\cfrac 1{2^4})^{l-1}$

  • $k=4l-1$$k=4l-1$일 때,

    $(-\frac{1}{2}{)}^{4l-1-1}=(-\frac{1}{2}{)}^{4(l-1)+2}=\frac{1}{4}(\frac{1}{2^4}{)}^{l-1}$$(-\cfrac 12)^{4l-1-1}=(-\cfrac 12)^{4(l-1)+2}=\cfrac 14(\cfrac 1{2^4})^{l-1}$

  • $k=4l$$k=4l$일 때,

    $(-\frac{1}{2}{)}^{4l-1}=(-\frac{1}{2}{)}^{4(l-1)+3}=-\frac{1}{8}(\frac{1}{2^4}{)}^{l-1}$$(-\cfrac 12)^{4l-1}=(-\cfrac 12)^{4(l-1)+3}=-\cfrac 18 (\cfrac 1{2^4})^{l-1}$

• 무한급수가 $2n$$2n$까지 가고....위에서 분류한 것에 따르면 $8l$$8l$까지 가는 것인데 어차피 무한대니까...!!

  $\underset{p\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{l=1}^p$$\lim\limits_{p\to\infty} \sum\limits_{ l=1}^p$로 계산하도 무방하겠다.........아우 더러워...

ii. 계산하자.

$\begin{array}{rl}5(-\frac{1}{2}{)}^m\underset{p\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{l=1}^p& (-(\frac{1}{2^4}{)}^{l-1}+\frac{1}{2}(\frac{1}{2^4}{)}^{l-1}+\frac{1}{4}(\frac{1}{2^4}{)}^{l-1}-\frac{1}{8}(\frac{1}{2^4}{)}^{l-1})\\ & =5(-\frac{1}{2}{)}^m\underset{p\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{l=1}^p(-1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8})(\frac{1}{2}{)}^{l-1}\\ & =5(-\frac{1}{2}{)}^m\times (-\frac{3}{8})\times (\frac{1}{1-\frac{1}{16}})\\ & =-2(-\frac{1}{2}{)}^m\end{array}$$\begin{aligned} 5(-\cfrac 12)^m \lim\limits_{p\to\infty} \sum\limits_{l=1}^p&\Big(-(\cfrac 1{2^4})^{l-1}+\cfrac 12 (\cfrac 1{2^4})^{l-1}+\cfrac 14(\cfrac 1{2^4})^{l-1}-\cfrac 18 (\cfrac 1{2^4})^{l-1}\Big)\\&=5(-\cfrac 12)^m\lim\limits_{p\to\infty}\sum\limits_{l=1}^p\Big(-1+\cfrac 12+\cfrac 14-\cfrac 18\Big)(\cfrac 12)^{l-1} \\ &=5(-\cfrac 12)^m\times (-\cfrac 38 )\times (\cfrac 1{1-\frac 1{16}})\\ &= -2(-\cfrac 12)^m\end{aligned}$

아우 드러...

iii. 부등식을 계산하자.

$-2(-\frac{1}{2}{)}^m>\frac{1}{700}$$-2(-\cfrac 12)^m>\cfrac 1{700}$

$(-\frac{1}{2}{)}^m<-\frac{1}{1400}$$(-\cfrac 12)^m<-\cfrac 1{1400}$

$\therefore m=1,3,5,7,9$$\therefore~ m=1,~3,~5,~7,~9$

$\therefore m$$\therefore~ m$의 값의 합은 $25$$25$