2024년 10월 미적분 30번

30. 두 상수 $a(a>0),b$$a(a>0),~b$에 대하여 함수 $f(x)=(a{x}^2+bx)e^{-x}$$f(x)=(ax^2 +bx)e^{-x}$이 다음 조건을 만족시킬 때, $60\times (a+b)$$60\times (a+b)$의 값을 구하시오.

(가) $\{x|f(x)=f^{\prime }(t)\times x\}=\{0\}$$\{x| f(x)=f'(t)\times x\}=\{0\}$을 만족시키는 실수 $t$$t$의 개수가 $1$$1$이다.

(나) $f(2)=2e^{-2}$$f(2)=2e^{-2}$

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i. 정리

• $f(x)=x(ax+b)e^{-x}$$f(x)=x(ax+b)e^{-x}$

  대충 그래프 개형은 그릴 수 있겠다. 헌데 미리 그려봤자 $a,b$$a,~b$의 조건에 따라 여러번 그려야하니 지금은 보류하자.

• $f(2)=2e^{-2}$$f(2)=2e^{-2}$

  $2a+b=1$$2a+b=1$

  $a,b$$a,~b$의 관련식 하나만 구하면 풀 수 있겠다!

ii. 생각

• 방정식 $f(x)=f^{\prime }(t)\times x$$f(x)=f'(t)\times x$ 의 근을 $0$$0$으로 만드는 실수 $t$$t$가 $1$$1$개 뿐이다?? 무슨 말이야??

  아무리 봐도 $x=0$$x=0$이면....$t$$t$는 모든 실수가 들어가도 되는데...???? $f(0)=0$$f(0)=0$인데....

  $t$$t$에 대한 방정식으로 볼까?

  $f^{\prime }(t)=\frac{f(x)}{x}$$f'(t)=\cfrac {f(x)}x$

  $\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{1}=f^{\prime }(0)$$\lim\limits_{x\to 0} \cfrac {f(x)}x =\lim\limits_{x\to 0} \cfrac {f'(x)}1=f'(0)$

  아...$f^{\prime }(t)=f^{\prime }(0)$$f'(t)=f'(0)$의 근이 오직 한 근만 가지라는 소리구나.

  그럼 $f^{\prime }(t)$$f'(t)$의 개형을 보고 $t=0$$t=0$에서 그 개형에 따라 극대 또는 극소값을 가지면 되네?

• $f^{\prime }(x)$$f'(x)$를 구하자.

  $f^{\prime }(x)=-(a{x}^2+(1-4a)x+2a-1)e^{-x}$$f'(x)=-(ax^2 +(1-4a)x +2a-1)e^{-x}$

  $a>0$$a>0$이니까 그래프 개형을 따져보면, $x=0$$x=0$에서 $f^{\prime }(x)$$f'(x)$가 극대값이 되면 된다!

iii. 계산

이상하네...미리 푼 연습장은 이거 보다 조금 더 복잡한데 ㅡ.ㅡ;;;; 왜 갑자기 간단해졌지????

$\begin{array}{rl}{f}^{″}(x)& =(a{x}^2+(1-4a)x+2a-1-2ax-1+4a)e^{-x}\\ & =(a{x}^2+(1-6a)x-2+6a)e^{-x}\end{array}$$\begin{aligned} f''(x)&=(ax^2 +(1-4a)x +2a-1-2ax-1+4a)e^{-x}\\ &= (ax^2+(1-6a)x-2+6a)e^{-x}\end{aligned}$

$x=0$$x=0$이 아무튼 극값을 가져야 하니 $-2+6a=0$$-2+6a=0$을 만족해야하고 나머지 극값이 $0$$0$보다 큰지만 확인하자. (뭐 굳이 확인할 필요가 있을까...

나머지 극값은 $\frac{6a-1}{a}=6-\frac{1}{a}$$\cfrac {6a-1}a=6-\cfrac 1a$이고 $a=\frac{1}{3}$$a=\cfrac 13$이니까 나머지 극값은 $0$$0$보다 크다.

$\therefore a=\frac{1}{3}$$\therefore~ a=\cfrac 13$이고 $b=\frac{1}{3}$$b=\cfrac 13$

$\therefore 60(a+b)=40$$\therefore~ 60(a+b)=40$