2024년 10월 미적분 29번

29. 점 $(0,1)$$(0,~1)$을 지나고 기울기가 양수인 직선 $l$$l$과 곡선 $y=e^{\frac{x}{a}}-1(a>0)$$y=e^{\frac xa}-1~(a>0)$이 있다. 직선 $l$$l$이 $x$$x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $\theta$$\theta$일 때, 직선 $l$$l$이 곡선 $y=e^{\frac{x}{a}}-1(a>0)$$y=e^{\frac xa }-1~(a>0)$과 제$1$$1$사분면에서 만나는 점의 $x$$x$좌표를 $f(\theta )$$f(\theta)$라 하자. $f(\frac{\pi }{4})=a$$f\big(\cfrac{\pi}4\big)=a$일 때, $\sqrt{f^{\prime }(\frac{\pi }{4})}=pe+q$$\sqrt{f'\big(\cfrac{\pi}4\big)}=pe+q$이다. $p^2+q^2$$p^2 +q^2$의 값을 구하시오. (단, $a$$a$는 상수이고 $p,q$$p,~q$는 정수이다.)

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i. 정리

• 시각적으로 보기 좋게 대충 그래프를 그려보자.

  

  $l:y=\tan \theta x+1$$l~:~y=\tan\theta x+1$

  $y=e^{\frac{x}{a}}-1$$y=e^{\frac xa} -1$

• $f(\frac{\pi }{4})=a$$f(\cfrac {\pi}4)=a$를 풀면, $a=e-2$$a=e-2$

• 방정식을 세우자.

  $e^{\frac{x}{a}}-1=\tan \theta x+1$$e^{\frac xa}-1 =\tan\theta x +1$

  그런데, $x=f(\theta )$$x=f(\theta)$이므로 이를 대입하면,

  $e^{\frac{f(\theta )}{a}}-1=\tan \theta \cdot f(\theta )+1$$e^{\frac {f(\theta)}a} -1 =\tan\theta \cdot f(\theta)+1$

ii. 풀자.

• $f^{\prime }(\theta )$$f'(\theta)$를 구하자.

  어? 이미 정리한 식을 $\theta$$\theta$에 대하여 미분만 하면 된다!

  계산 생략....

  $\frac{f^{\prime }(\theta )}{a}\times e^{\frac{f(\theta )}{a}}=\frac{1}{{\cos }^2\theta }\cdot f(\theta )+\tan \theta \cdot f^{\prime }(\theta )$$\cfrac {f'(\theta)}a \times e^{\frac {f(\theta)}a}=\cfrac 1{\cos^2 \theta }\cdot f(\theta)+\tan \theta \cdot f'(\theta)$

  $\theta =\frac{\pi }{4}$$\theta=\cfrac{\pi}4$를 대입하면,

  $\frac{f^{\prime }(\frac{\pi }{4})}{a}\times e^{\frac{f(\frac{\pi }{4})}{a}}=\frac{1}{{\cos }^2\frac{\pi }{4}}\cdot f(\frac{\pi }{4})+\tan \frac{\pi }{4}\cdot f^{\prime }(\frac{\pi }{4})$$\cfrac {f'(\cfrac{\pi}4)}a \times e^{\frac {f(\frac{\pi}4)}a}=\cfrac 1{\cos^2 \cfrac{\pi}4 }\cdot f(\cfrac{\pi}4)+\tan \cfrac{\pi}4 \cdot f'(\cfrac{\pi}4)$

  정리하면,

  $\frac{f^{\prime }(\frac{\pi }{4})}{a}\times e=2\cdot f(\frac{\pi }{4})+f^{\prime }(\frac{\pi }{4})$$\cfrac {f'(\cfrac {\pi}4)}a \times e =2\cdot f(\cfrac{\pi}4) +f'(\cfrac{\pi}4)$

  $(\frac{e}{a}-1)f^{\prime }(\frac{\pi }{4})=2a$$\Big(\cfrac ea -1\Big)f'(\cfrac{\pi}4)=2a$

  $\therefore f^{\prime }(\frac{\pi }{4})=\frac{2a^2}{e-a}=a^2$$\therefore~ f'(\cfrac{\pi}4)=\cfrac {2a^2}{e-a}=a^2$

$\therefore \sqrt{f^{\prime }(\frac{\pi }{4})}=a=e-2$$\therefore~ \sqrt{f'(\cfrac{\pi}4)}=a=e-2$

$\therefore p=1,q=-2$$\therefore~ p=1,~q=-2$

$\therefore p^2+q^2=5$$\therefore~ p^2 +q^2=5$