03. 다항식의 나눗셈

01. 시작에 앞서

사칙연산의 마지막 나눗셈이다! 다시 초등학교 시절로 돌아가서 생각을 해보자.

$43÷7=?$$43\div 7=?$

뭐 보통은 습관적으로 $\frac{43}{7}$$\cfrac {43}7$이라 답하거나, 초등학교 시절이라고 했으니 $6\frac{1}{7}$$6\cfrac 17$을 떠올리지 않았을까? 조금 더 이전으로 돌아가자! 분수라는 개념을 배우기 전으로!

$\begin{array}{r}6\\ 7\overline{)43}\\ \underset{―}{42}\\ 1\end{array}$$\require{enclose}\begin{array}{r}6 \\\ 7 \enclose{longdiv}{43} \\\ \underline{42} \\\ 1\end{array}$

이렇게 계산을 하고,

$43÷7=6\cdots 1$$43\div 7=6\cdots 1$

이렇게 계산했던 시절이 있었다. 몫과 나머지라는 개념을 이용했다. 그리고 여기에서 가장 중요했던 것은 나머지는 반드시 나누는 수보다 작아야 한다. 바로 이 개념이 다항식으로 확장되는 것이다.

그리고 $43=7\times 6+1$$43=7\times 6 +1$

 

02. 다항식의 나눗셈

"초등학교 저학년의 나눗셈에서 나머지는 나누는 수 보다 작아야한다."는 다항식으로 넘어오면서 차수로 바뀐다.

$\begin{array}{r}2x+1\\ x^2+2x\overline{)2x^3+5x^2+7x+4}\\ \underset{―}{2x^3+4x^2}\phantom{17550000}\\ x^2+7x+4\\ \underset{―}{x^2+2x}\phantom{800}\\ 5x+4\end{array}$$\require{enclose}\begin{array}{r}2x+1 \\\ x^2 +2x \enclose{longdiv}{2x^3+5x^2+7x+4} \\\ \underline{2x^3+4x^2}\phantom{17550000} \\\ x^2+7x+4\\\ \underline{x^2 +2x} \phantom{800} \\\ 5x+4\end{array}$

삼차식을 이차식으로 나누면, 나머지는 일차식 또는 상수항이 된다. 즉, 나머지는 나누는 다항식의 차수보다 한 차수 이하의 식이어야만 한다.

조금 수학스럽게(?) 정리하면, 다항식 $A$$A$를 다항식 $B(B\ne 0)$$B(B\neq 0)$으로 나누었을 때의 몫을 $Q$$Q$, 나머지를 $R$$R$이라 하면,

$A=BQ+R$$A=BQ+R\quad$ (단, $R$$R$의 차수는 $B$$B$의 차수보다 작다)

특히, $R=0$$R=0$일 때, $A$$A$는 $B$$B$로 나누어떨어진다.

 

그런데, 항상 이렇게 단순하면 좋겠지만 실제로는 조금 더 많은 기교들을 요구할 것이다..? 아마도?

 

03. 다항식의 나눗셈에서의 기교?

01. 항등식과 방정식?

• 항등식 : 어떤 문자를 포함한 등식이 그 문자에 어떠한 값을 대입해도 성립하는 식

  $ax+b=a^{\prime }x+b^{\prime }$$ax+b=a'x+b'$이면 $a=a^{\prime }$$a=a'$이고 $b=b^{\prime }$$b=b'$ 또는 $a=a^{\prime },b=b^{\prime }$$a=a',~b=b'$이고 $ax+b=a^{\prime }x+b^{\prime }$$ax+b=a'x+b'$일때,

  항등식이라 한다.

  그냥 단순하게 보면, 항등식을 정리하면 $0=0$$0=0$이 성립할 때를 말하는 것이다.

• 방정식 : 어떤 문자를 포함한 등식이 그 문자에 특정한 값을 대입했을 때에만 성립하는 식

  뭐 굳이.....알지...? 그동안 열심히 일차방정식, 이차방정식, 연립방정식을 풀어왔을테니까....

02. 계산이 항상 단순할까?

뭐 그동안 경험해봐서 알겠지만, 항상 기본은 단순한데 문제를 보면 욕이 나온다! 게다가 단순계산이 더 중요한 단원이다. 그러다보니 계산의 기교가 좀 필요한 단원이기도 하다. 매번마다 위의 방법처럼 직접 식을 계산 할 수도 없고, 만에 하나 식들에 미지수라도 포함되어 있다면....어우.... 그래서 조금은 게을러질 필요가 있다!

$f(x)$$f(x)$를 $g(x)$$g(x)$로 나누었을 때의 몫을 $Q(x)$$Q(x)$이고 나머지를 $R(x)$$R(x)$라 하자. 그러면, $f(x)=g(x)Q(x)+R(x)$$f(x)=g(x)Q(x)+R(x)$로 표현가능할 것이고 당연히 항등식이다!

• $g(x)$$g(x)$가 일차식이면 $R(x)$$R(x)$는 상수항

  $f(x)=g(x)Q(x)+a(R(x)=a)$$f(x)=g(x)Q(x)+a\quad (R(x)=a)$

• $g(x)$$g(x)$가 이차식이면 $R(x)$$R(x)$는 일차식

  $f(x)=g(x)Q(x)+ax+b(R(x)=ax+b)$$f(x)=g(x)Q(x)+ax+b\quad (R(x)=ax+b)$

• $g(x)$$g(x)$가 삼차식이면 $R(x)$$R(x)$는 이차식

  $f(x)=g(x)Q(x)+a{x}^2+bx+c(R(x)=a{x}^2+bx+c)$$f(x)=g(x)Q(x)+ax^2 +bx+c\quad (R(x)=ax^2 +bx+c)$

처럼 표현할 수 있을 것이다.

• 항등식임을 이용하면, 그냥 계산하기에 편한 수를 임의로 대입하여 미지수를 풀면 될 것이다.

• 열심히 전개해서 풀어서 계수들과 상수를 비교해서 미지수를 풀면 될 것이다.

뭐 대단한 건 아닐 것이다. 그냥 계산이 싫을 뿐이지;;;; 다만, 다행인 것은 몫보다는 나머지 $R(x)$$R(x)$에 대해 궁금한 점이 많다는 것이다. 그래서 보통 $g(x)=0$$g(x)=0$을 만드는 식을 대입하는 것을 많이 선호한다. $Q(x)$$Q(x)$를 날려버릴 수 있으니까!

 

03. 또 다른 시각?

$f(x)$$f(x)$를 $(x-a)$$(x-a)$ 또는 $(ax-b)$$(ax-b)$로 나누었을 때를 생각해보자. 몫을 각각 $Q_1(x)$$Q_1(x)$와 $Q_2(x)$$Q_2(x)$라 하면,

$\{\begin{array}{l}f(x)=(x-a)Q_1(x)+\alpha \\ f(x)=(ax-b)Q_2(x)+\beta \end{array}$$\begin{cases} f(x)=(x-a)Q_1(x)+\alpha \\ f(x)=(ax-b)Q_2(x)+\beta\end{cases}$ 로 표현이 가능할 것이다.

각각 $f(a),f(\frac{b}{a})$$f(a),~f(\cfrac ba)$를 생각해보자.

$\begin{array}{rl}f(a)& =(a-a)Q_1(a)+\alpha \\ & =\cancel{0\cdot Q_1(a)}+\alpha \\ & =\alpha \end{array}$$\begin{aligned} f(a)&=(a-a)Q_1(a)+\alpha \\ &=\cancel{0\cdot Q_1(a)}+\alpha\\ &=\alpha\end{aligned}$

$\begin{array}{rl}f(\frac{b}{a})& =(b-b)Q_2(\frac{b}{a})+\beta \\ & =\cancel{0\cdot Q_2(\frac{b}{a})}+\beta \\ & =\beta \end{array}$$\begin{aligned} f(\cfrac ba)&=(b-b)Q_2(\cfrac ba)+\beta \\ &=\cancel{0\cdot Q_2(\cfrac ba)}+\beta\\ &=\beta\end{aligned}$

$\alpha ,\beta$$\alpha,~\beta$가 $0$$0$이 아닐 때, 나머지 정리라 하고 $\alpha =\beta =0$$\alpha=\beta=0$일 때 인수정리라고 한다. 그냥 문제풀이의 한 도구로 생각하면 된다. 그간의 경험으로 용어가 중요하기 보다는 그냥 가져다 방법을 사용하는 것이 중요한 것임을 알 테니까;;;

일반적인 사용방법은 $f(x)=g(x)Q(x)+R(x)$$f(x)=g(x)Q(x)+R(x)$이고, $g(x)$$g(x)$가 이차식일 때 $g(\alpha )=g(\beta )=0$$g(\alpha)=g(\beta)=0$인 경우를 이용한다. $R(x)=ax+b$$R(x)=ax +b$일 것이고,

$\begin{array}{rl}f(\alpha )& =g(\alpha )Q(\alpha )+a\alpha +b\\ & =\cancel{0\cdot Q(\alpha )}+a\alpha +b\\ & =0\end{array}\begin{array}{rl}f(\beta )& =g(\beta )Q(\beta )+a\beta +b\\ & =\cancel{0\cdot Q(\beta )}+a\beta +b\\ & =0\end{array}$$\begin{aligned} f(\alpha)&=g(\alpha)Q(\alpha)+a\alpha +b \\ &=\cancel{0\cdot Q(\alpha)} +a\alpha +b\\ &=0\end{aligned} \quad \quad \begin{aligned} f(\beta)&=g(\beta)Q(\beta)+a\beta +b \\ &=\cancel{0\cdot Q(\beta)} +a\beta +b\\ &=0\end{aligned}$

 

$\{\begin{array}{l}a\alpha +b=0\\ a\beta +b=0\end{array}$$\begin{cases} a\alpha+b=0\\ a\beta+b=0\end{cases}$인 연립방정식을 풀면 된다!

 

결국 가장 중요한 것은 $f(x)=g(x)Q(x)+R(x)$$f(x)=g(x)Q(x)+R(x)$로 표현한 후에 $g(x)=0$$g(x)=0$인 값을 이용하는 것이다.

 

04. 조립제법

뭐 그래도 은근히 단순계산..특히 주어진 식을 일차식으로 나눌 때가 많다. 다행히 일일이 계산하기에 앞서 단순 산수문제로 바꾸어 빨리 계산하는 방법이 존재한다. 방법을 글로 설명하긴 힘드니까 뭐 알아서....

 

$x^3+3x^2-4x+3$$x^3 +3x^2 -4x+3$을 $x-2$$x-2$로 나누었을 때의 몫과 나머지를 구해보자.

$\begin{array}{ccccc}& 1& 3& -4& 3\\ 2& & 2& 10& 12\\ & 1& 5& 6& 15\end{array}$$\begin{array}{c|cccc}&1&3&-4&3\\ 2&&2&10&12\\ \hline &1&5&6&15\\ \end{array}$

$x^3+3x^2-4x+3=(x-2)(x^2+5x+6)+15$$x^3 +3x^2 -4x+3=(x-2)(x^2 +5x+6)+15$

뭐...단순 산수문제로 바뀌는 것이고...구체적인 방법은 학교, 학원, 친구들한테 배우자?

 

04. 결론

$f(x)=g(x)Q(x)+R(x)$$f(x)=g(x)Q(x)+R(x)$로 표현하고! $R(x)$$R(x)$의 차수를 생각하고! $g(x)=0$$g(x)=0$을 만족시키는 $x$$x$의 값을 대입시키면 풀린다!

그리고 가장 중요한 것은 $R(x)$$R(x)$의 차수는 $g(x)$$g(x)$의 차수보다 작다!