02. 다항식의 연산(나눗셈 빼고~)

01. 다항식의 사칙연산(나눗셈 빼고~)

숫자와 다른 점만 생각하자.

$1+2=3$$1+2=3$

이지만, $x+y=x+y$$x+y=x+y$일 뿐이다. 특별한 조건이 없는 한 다른 문자는 그냥 다른 문자일 뿐이다.

다만, 같은 문자가 같은 차수일 때에 한하여,

$x+x=1\cdot x+1\cdot x=(1+1)x=2x$$x+x=1\cdot x+1\cdot x=(1+1)x=2x$

와 같이 계수를 합할 수 있다. 만일 다른 차수라면?

$x+2x+x^2+x^3=x^3+x^2+3x$$x+2x+x^2+x^3=x^3 +x^2 +3x$

처럼 그냥 같은 문자지만 차수가 다르다면 다른 문자로 취급하면 된다! 그리고 계산실수를 방지하기 위해 보통 가장 높은 차수부터 낮은 차수 순으로 식을 쓰는 게 일반적이다.

그리고 나면, 나머지는 숫자와 다를 바가 없다.

• 교환법칙 : $\{\begin{array}{l}A+B=B+A\\ AB=BA\end{array}$$\begin{cases} A+B=B+A\\ AB=BA\end{cases}$

• 결합법칙 : $\{\begin{array}{l}(a+b)+c=a+(b+c)\\ (ab)c=a(bc)\end{array}$$\begin{cases} (a+b)+c=a+(b+c) \\ (ab)c=a(bc)\end{cases}$

• 분배법칙 : $\{\begin{array}{l}a(b+c)=ab+ca\\ (a+b)c=ca+bc\end{array}$$\begin{cases} a(b+c)=ab+ca\\ (a+b)c=ca+bc\end{cases}$

뭐 숫자와 다를 게 없잖아? 가능한 빨리 문자의 계산에 익숙해 지도록 하자.

02. 공식(구구단!)

덧셈과 뺄셈에는 딱히 대단한 것이 없지만, 곱셈에서는 구구단에 해당하는 것이 있다. 그냥 단순히 자주 나오는 것들을 묶어놓은 것 뿐이다. 그리고 다시 초등학교를 생각해보자.

• 구구단을 외웠다! 그럼 이제 곱셈을 할 수 있다!!!

• 어? 곱셈을 이용해서 나눗셈을 배웠다!

  나머지라는 개념을 배웠을 것이고, 좀 더 후에는 유리수를 배웠을 것이다.

  다행히도 다항식에서는 그냥 나머지라는 개념이 존재할 뿐이다.

  요즘은 용어가 다를 거 같은데...제수, 피제수? 뭐 이런 용어인거 같은데 다항식에서는 오직 차수만 보면 된다!

• 소인수분해를 기억하는가?

  큰 숫자들을 소수를 이용하여 표현하는 것...요즘도 다루는 지 모르지만 이를 이용하여 최소공배수와 최대공약수 그리고 약수의 개수들을 구할 수 있었지? 뭐 그 당시에야 문제에서 하라니까 했을 뿐이지만, 생각해보자. 큰 수만 주어지면 알아내기 힘들었던(?)것을 소인수분해를 함으로써 그 수의 속성들을 쉽게 알아볼 수 있었다.

  다항식에서는 숫자처럼 알아보기 쉽게 만드는 것이 바로 인수분해인다. 그리고 이는 곱셈공식과 연결되어 있고, 뭐 곱셈공식으로 해결이 안되어도 상관없다. 그냥 정해진 순서에 따라 계산하면 된다!

자 그럼 이제 구구단을 알아보자. 다만, 외워야 할 것을 최소한으로 줄이고 활용까지 염두에 두도록하자. (보통 많이 쓰는 게 두 문자의 합과 곱을 가지고 문제를 만든다. 그러니 그 위주로 공식을 나열하였다.

• $(a\pm b{)}^2=a^2+b^2\pm 2ab$$(a\pm b)^2 =a^2 +b^2 \pm 2ab$

  $(a\pm b),ab,a^2+b^2$$(a\pm b),~ab,~a^2 +b^2$을 묶어서 생각하면 된다. 보통 3개 중 2개를 주어준 후에 나머지를 구하도록 시킬 것이다.

  그리고 추가로 다음을 보자.

  $\begin{array}{rl}(a+b{)}^2-4ab& =a^2+2ab+b^2-4ab\\ & =a^2-2ab+b^2\\ & =(a-b{)}^2\end{array}$$\begin{aligned} (a+b)^2 -4ab&=a^2 +2ab+b^2 -4ab\\ &= a^2 -2ab+b^2 \\ &=(a-b)^2\end{aligned}$

  뭐 반대로도 가능하겠지? $(a-b{)}^2+4ab=(a+b{)}^2$$(a-b)^2 +4ab=(a+b)^2$

  이런식으로 식을 가지고 장난을 좀 치기도 한다.

• $(a\pm b{)}^3=a^3\pm 3ab(a\pm b)\pm b^3$$(a\pm b)^3 =a^3 \pm 3ab(a\pm b)\pm b^3$

  역시나 두 문자의 합과 곱으로 표현이 가능하다.

  $(a\pm b),ab,a^3\pm b^3$$(a\pm b),~ab,~a^3 \pm b^3$

• $(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2 +2(ab+bc+ca)$

  이번에는 세 문자의 합과 곱을 볼 수 있다!

  $(a+b+c),ab+bc+ca,a^2+b^2+c^2$$(a+b+c),~ab+bc+ca,~a^2+b^2+c^2$

  $(a+b+c{)}^3$$(a+b+c)^3$도 있을 거 같지만...다행히도 없다...왜냐고? 출제자들도 이건 의미없다고 생각한 거겠지? 뭐 확통으로 가서 이항정리를 배우면 전개를 할 수도 있긴 한데....굳이 이 단원에서는 의미가 없으니까...산수가 아니라 수학을 배우는 것이니까.

• $a^3+b^3+c^3-3ab=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$$a^3 +b^3 +c^3-3ab=(a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2-ab-bc-ca)$

  이건 아마 교과과정에서 삭제되었지 싶다...(교과에 포함되었을 때도 이 식을 실제 문제에서 본적은 문제집 말고는 없다!!!

  다만 뒤에 부등식에서 $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$$a^2 +b^2 +c^2-ab-bc-ca$의 다항식은 좀 중요하긴 하다. 아니다..이것도 교과에서 제외되었을란가...?

  미리 잠깐 접근하면,

  $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge 0$$a^2 +b^2 +c^2-ab-bc-ca\ge 0$이고 $a,b,c$$a,~b,~c$가 실수라면,

  우선 양변에 $2$$2$를 곱하고 보기 편하게 묶어보자.

  $(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)\ge 0$$(a^2 -2ab+b^2 )+(b^2 -2bc+c^2 )+(c^2 -2ca+a^2 )\ge 0$이 되고, 이는 다시

  $(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2\ge 0$$(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2\ge 0$

  따라서 $a,b,c$$a,~b,~c$가 실수이면 무조건 성립을 할 수 밖에 없고(실수의 제곱은 $0$$0$보다 크거나 같다!)

  만일 $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0$$a^2 +b^2 +c^2 -ab-bc-ca=0$이면, 위와 같이 $2$$2$를 곱한 후에 정리하면,

  $(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2=0$$(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2=0$이므로 이를 만족하는 조건은 $a=b=c$$a=b=c$일 수 밖에 없다.

  보통 공식처럼 외우긴 하는데....고3때는 이걸 활용하는 문제를 본 기억이 없다...(아! 나의 기억력은 닭과 다를 바가 없어서 푼 문제도 까먹으니까...너무 믿지는 말자...)

• $(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)=a^3\pm b^3$$(a\pm b)(a^2 \mp ab+b^2)=a^3 \pm b^3$

  역시나 두 문자의 합과 곱으로 묶을 수 있다.

  은근히 자주 사용하기는 한다...

• $(ax+by)(cx+dy)=ac{x}^2+(ad+bc)xy+bd{y}^2$$(ax+by)(cx+dy)=acx^2 +(ad+bc)xy+bdy^2$

  보통은 도끼법? 뭐 이런식으로 이용한다.

  $\begin{array}{}a& & & & b\\ \downarrow & \searrow & \swarrow & & \downarrow \\ c& & & & d\\ ac& & ad+bc& & bd\end{array}$$\begin{array} {}a &&&&b\\ \downarrow&\searrow&\swarrow&&\downarrow \\ c&&&&d \\ \hline ac&&ad+bc&&bd \end{array}$

   

  그리고 보통은 $a,c$$a,~c$는 숫자 $1$$1$이 들어간 경우가 많이 쓰인다.

  $(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$$(x+a)(x+b)=x^2 +(a+b)x+ab$

  이차방정식에서 많이 쓰인다~

자! 이게 전부다!!!! 구구단과 비교하자!!! 6개네!!!! 이 얼마나 적은가!!!!

 

03. 당부....

이 단원은 초등학교 저학년때와 마찬가지로 산수문제이다? 계산이 빠르고 정확해야한다...지금의 구구단처럼 생각없이 바로바로 튀오나오도록 단순 공식 전개와 인수분해 문제를 많이 풀어서 그냥 구구단처럼 습관적으로 계산이 되어야만 한다!!!!

참 오래된 기억이지만....내가 다녔던 학원에서는 중학교 3학년 때인데... 이 단순한 전개식과 단순한 인수분해문제를 진짜 거짓말 하나 안 보태고 최소 $300$$300$문제 이상을 주고 빨리 푸는 순으로 집으로 보내줬던 걸로 기억한다;;;; 지금 다시 누군가를 가르친다고 해도 이 부분만 유일하게 단순문제를 3~400문제 주고서 푸는 순서대로 집으로 보낼 것이다....;;;;