2023년 10월 13번

13. 그림과 같이 두 상수 $a(a>1),k$$a(a>1),~k$에 대하여 두 함수 $y=a^{x+1}+1,y=a^{x-3}-\frac{7}{4}$$y=a^{x+1}+1,~y=a^{x-3}-\cfrac 74$의 그래프와 직선 $y=-2x+k$$y=-2x+k$가 만나는 점을 각각 $P,Q$$P,~Q$라 하자. 점 $Q$$Q$를 지나고 $x$$x$ 축에 평행한 직선이 함수 $y=-a^{x+4}+\frac{3}{2}$$y=-a^{x+4}+\cfrac 32$의 그래프와 점 $R$$R$에서 만나고 $\overline{PR}=\overline{QR}=5$$\overline{PR}=\overline{QR}=5$일 때, $a+k$$a+k$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• $\overline{PQ}$$\overline{PQ}$의 기울기가 $-2$$-2$라는 것과 $\overline{PR}=\overline{QR}=5$$\overline{PR}=\overline{QR}=5$를 어떻게 이용할까?

  

  • $P$$P$에서 $\overline{RQ}$$\overline{RQ}$에 내린 수선의 발을 $H$$H$라 하고, $\overline{HQ}=\alpha$$\overline{HQ}=\alpha$라 하면,

    • $\overline{HQ}=\alpha ,\overline{RH}=5-\alpha ,\overline{PH}=2\alpha$$\overline{HQ}=\alpha,~\overline{RH}=5-\alpha,~\overline{PH}=2\alpha$

      • $\mathrm{△}PRH$$\triangle PRH$에 대해 피타고라스의 정리을 이용하면

        $5^2=(5-\alpha {)}^2+(2\alpha {)}^2$$5^2=(5-\alpha)^2 +(2\alpha)^2$

        $\alpha =2(\because \alpha \ne 0)$$\alpha=2\quad (\because~\alpha \neq 0)$

• $R$$R$의 $x$$x$ 좌표를 $r$$r$이라 하면, $R(r,-a^{r+4}+\frac{3}{2})$$R(r,~-a^{r+4}+\cfrac 32)$

  • 점$P$$P$를 $R$$R$로 표현하면,

    $P(r+3,-a^{r+4}+\frac{3}{2}+4)=P(r+3,a^{r+4}+1)$$P(r+3,~-a^{r+4} +\cfrac 32+4)=P(r+3,~a^{r+4}+1)$

    $-a^{r+4}+\frac{3}{2}+4=a^{r+4}+1⟶a^{r+4}=\frac{9}{4}$$-a^{r+4}+\cfrac 32 +4=a^{r+4}+1\quad \longrightarrow \quad a^{r+4}=\cfrac 94$

  • $R$$R$과 $Q$$Q$의 $y$$y$축의 좌표가 동이라자.

    $Q(r+5,a^{r+2}-\frac{7}{4})$$Q(r+5,~a^{r+2} -\cfrac 74)$

    $-a^{r+4}+\frac{3}{2}=a^{r+2}-\frac{7}{4}$$-a^{r+4}+\cfrac 32=a^{r+2}-\cfrac 74$

    위에서 구한 $a^{r+4}=\frac{9}{4}$$a^{r+4}=\cfrac 94$를 이용하면,

    $-\frac{9}{4}+\frac{3}{2}=a^{r+2}-\frac{7}{4}$$-\cfrac94 +\cfrac 32 =a^{r+2}-\cfrac 74$

    $a^{r+2}=1$$a^{r+2}=1$

    $\therefore r=-2$$\therefore~ r=-2$

  • $a^{r+4}=\frac{9}{4}$$a^{r+4}=\cfrac 94$에 대입하면,

    $a^2=\frac{9}{4}$$a^2 =\cfrac 94$

    $\therefore a=\frac{3}{2}(\because a>1)$$\therefore~ a=\cfrac 32\quad (\because~a>1)$

• $P$$P$는 $y=-2x+k$$y=-2x+k$ 위에 존재한다.

  $P(1,a^2+1)$$P(1,~a^2+1)$

  $a^2+1=-2+k$$a^2 +1=-2+k$

  $k=\frac{9}{4}+1+2=\frac{21}{4}$$k=\cfrac 94+1+2=\cfrac {21}4$

$\therefore a+k=\frac{27}{4}$$\therefore~ a+k=\cfrac {27}4$