2023년 10월 15번

15. 모든 항이 자연수인 수열 $\{a_n\}$$\{a_n\}$이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 자연수 $n$$n$에 대하여 $\begin{array}{c}{a}_{n+1}=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}{a}_n+2n& (a_n\text{이 }4\text{의 배수인 경우})\\ a_n+2n& (a_n\text{이 }4\text{의 배수가 아닌 경우})\end{array}\end{array}$$a_{n+1}=\begin{cases} \cfrac 12 a_n+2n&(a_n\text{이 }4\text{의 배수인 경우})\\ a_n+2n&(a_n\text{이 }4\text{의 배수가 아닌 경우})\end{cases}$이다.

(나) $a_3>a_5$$a_3>a_5$

$50<a_4+a_5<60$$50<a_4+a_5<60$이 되도록 하는 $a_1$$a_1$의 최댓값과 최솟값을 각각 $M,m$$M,~m$이라 할 때, $M+m$$M+m$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• 수열 $\{a_n\}$$\{a_n\}$이 $4$$4$의 배수일 때와 아닐 때로 구분을 해야한다

  그런데 , $a_1$$a_1$을 구분하는 게 나을까? 아니면 ??

  문제를 살펴보면 $a_3,a_4,a_5$$a_3,~a_4,~a_5$가 나온다..그럼 이 세개 중 하나를 선택해서 접근하는 게 좀 더 쉬울 듯 하다.

   

  그래서 $a_3$$a_3$을 택할란다.

ii. $a_3=4\alpha$$a_3=4\alpha$일 때, (단, $\alpha \in \mathbb{N}$$\alpha\in\mathbb N$)

• $a_4=2\alpha +6$$a_4=2\alpha+6$

  • $a_4$$a_4$가 $4$$4$의 배수일 때,

    $a_5=\alpha +3+8=\alpha +11$$a_5=\alpha+3+8=\alpha+11$

    • $a_3>a_5$$a_3>a_5$를 이용하면

      $4\alpha >\alpha +11$$4\alpha >\alpha+11$

      $\alpha >\frac{11}{3}$$\alpha >\cfrac {11}3$

      $\alpha \ge 4$$\alpha \ge 4$

    • $50<a_4+a_5<60$$50<a_4+a_5<60$을 이용하면,

      $50<2\alpha +6+\alpha +11<60$$50<2\alpha+6+\alpha+11<60$

      $50<3\alpha +17<60$$50<3\alpha+17<60$

      $11<\alpha <\frac{43}{3}$$11<\alpha<\cfrac {43}3$

      $\therefore 11<\alpha \le 14$$\therefore~ 11<\alpha \le 14$

    • $\alpha =12$$\alpha=12$이면,

      $a_4=30$$a_4=30$

      $4$$4$의 배수가 아니다.

    • $\alpha =13$$\alpha=13$

      $a_4=32$$a_4=32$

      $a_3=52$$a_3=52$

      $\begin{array}{c}{a}_3=\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}{a}_2+4\\ a_2+4\end{array}\end{array}$$a_3=\begin{cases} \cfrac 12 a_2 +4 \\ a_2+4\end{cases}$

      $a_2=96,48$$a_2=96,~48$

      그런데, $a_2\ne 48$$a_2\neq 48$ (문제 조건)

      $\therefore a_2=96$$\therefore~ a_2=96$

      다시 $a_1$$a_1$을 구하면,

      $\begin{array}{c}96=\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}{a}_1+2\\ a_1+2\end{array}\end{array}$$96=\begin{cases} \cfrac 12 a_1+2\\ a_1+2\end{cases}$

      $a_1=188,94$$a_1=188,~94$

      둘 다 가능

    • $\alpha =14$$\alpha=14$이면

      $a_4=34$$a_4=34$

      $4$$4$의 배수가 아니다!!!

  • $a_4$$a_4$가 $4$$4$의 배수가 아닐 때,

    $a_5=2\alpha +14$$a_5=2\alpha+14$

    • ${\alpha }_3>{\alpha }_5$$\alpha_3>\alpha_5$를 이용하면,

      $4\alpha >2\alpha +14$$4\alpha>2\alpha+14$

      $\alpha >7$$\alpha>7$

    • $50<{\alpha }_4+{\alpha }_5<60$$50<\alpha_4+\alpha_5<60$을 이용하면,

      $50<2\alpha +6+2\alpha +14<60$$50<2\alpha+6+2\alpha+14<60$

      $30<4\alpha <40$$30<4\alpha<40$

      $8\le \alpha \le 9$$8\le \alpha\le 9$

    • $\alpha =8$$\alpha=8$일 때,

      $a_4=22$$a_4=22$

      $a_3=32$$a_3=32$

      $\begin{array}{c}32=\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}{a}_2+4\\ a_2+4\end{array}\end{array}$$32=\begin{cases} \cfrac 12 a_2+4\\ a_2+4\end{cases}$

      $a_2=56,28$$a_2=56,~28$

      그런데 $a_2\ne 28$$a_2\neq 28$

      $\therefore a_2=56$$\therefore~ a_2=56$

      $\begin{array}{c}56=\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}{a}_1+2\\ a_1+2\end{array}\end{array}$$56=\begin{cases} \cfrac 12 a_1+2\\ a_1+2\end{cases}$

      $a_1=108,54$$a_1=108, ~54$

    • $\alpha =9$$\alpha=9$일 때,

      $a_4=24$$a_4=24$

      조건에서 탈락

iii. $a_3$$a_3$이 $4$$4$의 배수가 아닐 때,

• $a_4=a_3+6$$a_4=a_3+6$

  • $a_4$$a_4$가 $4$$4$의 배수일 때

    $a_5=\frac{1}{2}{a}_3+3+8=\frac{1}{2}{a}_3+11$$a_5=\cfrac 12 a_3+3+8=\cfrac 12 a_3+11$

    $a_3>\frac{1}{2}{a}_3+11$$a_3>\cfrac 12 a_3+11$

    $a_3\ge 23$$a_3\ge 23$

  • $50<a_4+a_5<60$$50<a_4+a_5<60$을 이용하면, (아니 왜 이렇게 시간만 잡아먹는 문제를 내지?)

    $50<a_3+6+\frac{1}{2}{a}_3+11<60$$50<a_3+6+\cfrac 12 a_3+11<60$

    $23\le a_3\le 28$$23\le a_3\le 28$

    $a_3=23,25,26,28$$a_3=23,~25,~26,~28$

    이 중 $a_4$$a_4$가 $4$$4$의 배수가 되는 경우는 $a_3=26$$a_3=26$일 때 뿐이다.

    • $a_3=26$$a_3=26$일 때,

      $\begin{array}{c}26=\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}{a}_2+4\\ a_2+4\end{array}\end{array}$$26=\begin{cases} \cfrac 12 a_2+4\\ a_2+4\end{cases}$

      $a_2=44,22$$a_2=44,~22$

      아놔 둘다 조건에 맞는다.

      • $a_2=44$$a_2=44$일 때,

        $\begin{array}{c}44=\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}{a}_1+2\\ a_1+2\end{array}\end{array}$$44=\begin{cases} \cfrac 12 a_1+2\\ a_1+2\end{cases}$

        $a_1=84,42$$a_1=84,~42$

      • $a_2=22$$a_2=22$일 때,

        $\begin{array}{c}22=\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}{a}_1+2\\ a_1+2\end{array}\end{array}$$22=\begin{cases} \cfrac 12 a_1+2\\ a_1+2\end{cases}$

        $a_1=40,20$$a_1=40,~20$

        조건에 맞는 경우는 $a_1=40$$a_1=40$

iv. 마지막

가능한 $a_1$$a_1$을 나열하면, $188,94,108,54,84,42,40$$188,~94,~108,~54,~84,~42,~40$

$\therefore M=188,m=40$$\therefore~ M=188,~m=40$

$\therefore M+m=228$$\therefore~ M+m=228$