2023년 10월 22번

22. 삼차함수 $f(x)$$f(x)$에 대하여 구간 $(0,\mathrm{\infty })$$(0,~\infty)$에서 정의된 함수 $g(x)$$g(x)$를 $\begin{array}{c}g(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^3-8x^2+16x& (0<x\le 4)\\ f(x)& (x>4)\end{array}\end{array}$$g(x)=\begin{cases} x^3-8x^2 +16x&(0<x\le 4)\\ f(x)&(x>4)\end{cases}$라 하자. 함수 $g(x)$$g(x)$가 구간 $(0,\mathrm{\infty })$$(0,~\infty)$에서 미분가능하고 다음 조건을 만족시킬 때, $g(10)=\frac{q}{p}$$g(10)=\cfrac qp$이다. $p+q$$p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$$p$와 $q$$q$는 서로소인 자연수이다.)

(가) $g(\frac{21}{2})=0$$g\Big(\cfrac {21}2\Big)=0$

(나) 점 $(-2,0)$$(-2,~0)$에서 곡선 $y=g(x)$$y=g(x)$에 그은 , 기울기가 $0$$0$이 아닌 접선이 오직 하나 존재한다.

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i. 생각

• $h(x)=x^3-8x^2+16x$$h(x)=x^3 -8x^2 +16x$라 하자.

  $h(x)=x(x^2-8x+16)=x(x-4{)}^2$$h(x)=x(x^2 -8x+16)=x(x-4)^2$

  음...좀 깔끔해보인다?

• $f(x)$$f(x)$에 대해 생각을 해보자.

  $g(x)$$g(x)$는 $x=4$$x=4$에서 미분가능이다. 바로 위의 $h(x)$$h(x)$를 살펴보면,

  $f(4)=0,f^{\prime }(4)=0$$f(4)=0,~f'(4)=0$임을 쉽게 알 수 있다.

  그리고 $g(\frac{21}{2})=f(\frac{21}{2})=0$$g\Big(\cfrac {21}2\Big)=f\big(\cfrac {21}2\big)=0$

  $f(x)=a(x-4{)}^2(2x-21)$$f(x)=a(x-4)^2 (2x-21)$로 표현할 수 있다.

• 조건 (나)를 생각하자.

  함수 밖의 점에서의 접선이 하나다. (기울기가 $0$$0$이 아닌 접선)

  여기서 아마 $f(x)$$f(x)$의 최고차항의 계수를 구할 수 있겠다....

ii. $h(x)$$h(x)$를 먼저 활용하자. (접선의 기울기를 구하기 위해서)

$h^{\prime }(x)=3x^2-16x+16$$h'(x)=3x^2 -16x +16$

곡선 $h(x)$$h(x)$의 위의 접선이 $(-2,0)$$(-2,~0)$을 지날 때의 기울기를 찾도록 하자.

우선 접선의 방정식을 세우자.

• $y=h^{\prime }(t)(x-t)+h(t)$$y=h'(t)(x-t)+h(t)$이고 $(-2,0)$$(-2,~0)$을 지나니까

  $0=-h^{\prime }(t)(t+2)+h(t)$$0=-h'(t)(t+2)+h(t)$의 근 중 $0<t<4$$0<t< 4$의 값을 찾자.

  $t(t-4{)}^2=(3t^2-16t+16)(t+2)$$t(t-4)^2 =(3t^2 -16t+16)(t+2)$

  계산 생략...ㅅㅂ

  $t^3-t^2-16t+16=0$$t^3-t^2 -16t+16=0$

  $(t-1)(t+4)(t-4)=0$$(t-1)(t+4)(t-4)=0$

  조건에 맞는 값은 $t=1$$t=1$이다.

  접선의 방정식은 $y=3(x-1)+9=3x+6$$y=3(x-1)+9=3x+6$이고 접점은 $(1,9)$$(1,~9)$

iii. 구한 접선과 $y=f(x)$$y=f(x)$가 접하게 되는 $a$$a$의 값을 구하자.

$3(x+2)=a(x-4{)}^2(2x-21)$$3(x+2)=a(x-4)^2 (2x-21)$

아....하기 싫다...

$j(x)=a(x-4{)}^2(2x-21)-3(x+2)$$j(x)=a(x-4)^2 (2x-21)-3(x+2)$라 면,

이 함수는 $j(x)=0$$j(x)=0$인 방정식의 근이 $x=\alpha (4<\alpha )$$x=\alpha~(4<\alpha)$에서 중근을 가지면 된다. (혹시 이해가 가지 않는다면, 이차함수와 직선이 접할 때의 조건을 생각해보자.)

$j(\alpha )=0,j^{\prime }(\alpha )=0$$j(\alpha)=0,~j'(\alpha)=0$...음..그냥 정석대로 풀어야하나 .....? 아무튼 $2\alpha -21\ne 0$$2\alpha-21\neq 0$이고...

• $j(\alpha )=a(\alpha -4{)}^2(2\alpha -21)-3(\alpha +2)=0$$j(\alpha)=a(\alpha-4)^2 (2\alpha-21)-3(\alpha+2)=0$

• $j^{\prime }(x)=2a(x-4)(2x-21)+2a(x-4{)}^2-3$$j'(x)=2a(x-4)(2x-21)+2a(x-4)^2 -3$

  $j^{\prime }(\alpha )=2a(\alpha -4)(2\alpha -21)+2a(\alpha -4{)}^2-3=0$$j'(\alpha)=2a(\alpha-4)(2\alpha-21)+2a(\alpha-4)^2-3=0$

주어진 조건식을 연립해보자.

$a(\alpha -4{)}^2(2\alpha -21)=3(\alpha +2)$$a(\alpha-4)^2 (2\alpha-21)=3(\alpha+2)$

$2a(\alpha -4)(2\alpha -21)=3-2a(\alpha -4{)}^2$$2a(\alpha-4)(2\alpha-21)=3-2a(\alpha-4)^2$

두 식을 나누면?

$\frac{\alpha -4}{2}=\frac{3(\alpha +2)}{3-2a(\alpha -4{)}^2}$$\cfrac {\alpha-4}{2}=\cfrac {3(\alpha+2)}{3-2a(\alpha-4)^2}$

더럽다.... $a$$a$를 $\alpha$$\alpha$로 표현하면 좀 쉬울란가...

$a=\frac{3(\alpha +2)}{(\alpha -4{)}^2(2\alpha -21)}$$a=\cfrac {3(\alpha+2)}{(\alpha-4)^2 (2\alpha-21)}$이고

이를 두번째 조건식에 대입하면,

$\frac{6(\alpha +2)}{(\alpha -4)}=3-\frac{6(\alpha +2)}{(2\alpha -21)}$$\cfrac{6(\alpha+2)}{(\alpha-4)}=3-\cfrac {6(\alpha+2)}{(2\alpha-21)}$

어...될거 같다...? 양변에 $(\alpha -4)(2\alpha -21)$$(\alpha-4)(2\alpha-21)$을 곱하변,

$6(\alpha +2)(2\alpha -21)=3(\alpha -4)(2\alpha -21)-6(\alpha +2)(\alpha -4)$$6(\alpha+2)(2\alpha-21)=3(\alpha-4)(2\alpha-21)-6(\alpha+2)(\alpha-4)$

계.산.생.략

$\alpha =8,-\frac{23}{4}$$\alpha=8,~-\cfrac {23}4$

조건에 맞는 근은 $\alpha =8$$\alpha=8$

이제 $a$$a$를 구하자.

$\therefore a=\frac{3\cdot 10}{16\cdot -5}=-\frac{3}{8}$$\therefore~ a=\cfrac {3\cdot 10}{16\cdot -5}=-\cfrac 38$

$\therefore f(x)=-\frac{3}{8}(x-4{)}^2(2x-21)$$\therefore~ f(x)=-\cfrac 38 (x-4)^2 (2x-21)$

iv. 계산

$g(10)=f(10)=-\frac{3}{8}\cdot 36\cdot -1=\frac{27}{2}$$g(10)=f(10)=-\cfrac 38 \cdot 36\cdot -1=\cfrac {27}{2}$

$\therefore p+q=29$$\therefore~ p+q=29$