2023년 10월 14번

14. 최고차항의 계수가 $1$$1$이고 $f^{\prime }(2)=0$$f'(2)=0$인 이차함수 $f(x)$$f(x)$가 모든 자연수 $n$$n$에 대하여 $\begin{array}{r}{\int }_4^{n}f(x)dx\ge 0\end{array}$$\begin{aligned} \int_4^nf(x)dx\ge 0\end{aligned}$을 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고르시오.

ㄱ. $f(2)<0$$f(2)<0$

ㄴ. $\begin{array}{r}{\int }_4^{3}f(x)dx>{\int }_4^{2}f(x)dx\end{array}$$\begin{aligned} \int_4^3 f(x)dx >\int_4^2 f(x)dx \end{aligned}$

ㄷ. $\begin{array}{r}6\le {\int }_4^{6}f(x)dx\le 14\end{array}$$\begin{aligned} 6\le \int_4^6f(x)dx \le 14\end{aligned}$

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i. 정리

• $f(x)=x^2+\sim$$f(x)=x^2 +\sim$

• $f^{\prime }(2)=0⟶f(x)=(x-2{)}^2+\alpha$$f'(2)=0\quad \longrightarrow \quad f(x)=(x-2)^2 +\alpha$

  대충 그래프의 개형을 살펴보면,

  

• $\begin{array}{r}{\int }_4^{n}f(x)dx\ge 0\end{array}$$\begin{aligned} \int_4^nf(x)dx\ge 0\end{aligned}$를 살펴보자.

  우선 $2\le x$$2\le x$에서 함수 $f(x)$$f(x)$는 증가함수이다.

  그럼 따지고 들어가면 좀 자잘한 조건들이 필요하겠지만, 우선 $f(2)<0$$f(2)<0$임을 알아낼 수 있다.

  $f(2)<f(3)=f(1)<f(4)=f(0)$$f(2)<f(3)=f(1)<f(4)=f(0)$는 당연한 사실일 것이다. ($\because f(x)$$\because~f(x)$는 $x=2$$x=2$에 대칭이다.)

ii. ㄱ

당연히 $f(2)<0$$f(2)<0$​이어야 한다.

$\therefore True$$\therefore~ True$

iii. ㄴ

위의 그림에서 파란색 그래프형태가 되어야하니 $\begin{array}{r}{\int }_4^{2}f(x)dx>{\int }_4^{3}f(x)dx\end{array}$$\begin{aligned} \int_4^2 f(x)dx >\int_4^3 f(x)dx \end{aligned}$이다.

$\therefore False$$\therefore~ False$

iv. ㄷ

아............

의 세가지 경우를 생각할 수 있다. 그런데, 뚫어지게 쳐다보니

최소는 $\begin{array}{r}{\int }_4^{5}f(x)dx=0\end{array}$$\begin{aligned} \int_4^5 f(x)dx =0\end{aligned}$일 때,

최대는 $\begin{array}{r}{\int }_3^{4}f(x)dx=0\end{array}$$\begin{aligned} \int_3^4 f(x)dx =0\end{aligned}$일 때라는 것을 알 수 있다.

i. 최소일 때를 계산하자..

$\begin{array}{rl}{\int }_4^{5}f(x)dx& ={\int }_4^5((x-2{)}^2+k_1)dx\\ & =[\frac{1}{3}(x-2{)}^3+k_{1}x{]}_4^5\\ & =[\frac{1}{3}(3^3-2^3)+k_1(5-4)]\\ & =\frac{19}{3}+k_1=0\end{array}$$\begin{aligned} \int_4^5 f(x)dx&= \int_4^5 \big((x-2)^2 +k_1\big)dx \\ &= \Big[\cfrac 13 (x-2)^3 +k_1x\Big]_4^5\\ &=\Big[ \cfrac 13 (3^3-2^3)+k_1(5-4)\Big]\\ &= \cfrac {19}3 +k_1=0\end{aligned}$

$\therefore k_1=\frac{19}{3}$$\therefore~ k_1=\cfrac {19}3$

$\begin{array}{rl}{\int }_4^{6}f(x)dx& =[\frac{1}{3}(x-2{)}^3-\frac{19}{3}x{]}_4^6\\ & =[\frac{1}{3}(4^3-2^3)-\frac{19}{3}\cdot 2]\\ & =6\end{array}$$\begin{aligned} \int_4^6 f(x)dx &=\Big[\cfrac 13 (x-2)^3 -\cfrac {19}3 x\Big]_4^6 \\ &=\Big[\cfrac 13(4^3-2^3)-\cfrac {19}3 \cdot 2\Big]\\ &=6\end{aligned}$​

ii. 최대일 때를 계산하자.

$\begin{array}{rl}{\int }_3^{4}f(x)dx& ={\int }_3^4((x-2{)}^2+k_2)dx\\ & =[\frac{1}{3}(x-2{)}^3+k_{2}x{]}_3^4\\ & =[\frac{1}{3}(2^3-1^3)+k_2(4-3)]\\ & =[\frac{7}{3}+k_2]=0\end{array}$$\begin{aligned}\int_3^4 f(x)dx &=\int_3^4 \big((x-2)^2 +k_2\big)dx \\ &= \Big[\cfrac 13 (x-2)^3 +k_2x \Big]_3^4\\ &=\Big[\cfrac 13(2^3-1^3)+k_2(4-3)\Big] \\ &=\Big[\cfrac 73+k_2\Big]=0 \end{aligned}$

$\therefore k_2=-\frac{7}{3}$$\therefore~ k_2=-\cfrac 73$

$\begin{array}{rl}{\int }_4^{6}f(x)dx& =[\frac{1}{3}(x-2{)}^2-\frac{7}{3}x{]}_4^6\\ & =[\frac{1}{3}(4^3-2^3)-\frac{14}{3}]\\ & =\frac{56}{3}-\frac{14}{3}=\frac{42}{3}=14\end{array}$$\begin{aligned}\int_4^6 f(x)dx&=\Big[\cfrac 13(x-2)^2 -\cfrac 73x\Big]_4^6\\ &=\Big[\cfrac 13(4^3-2^3)-\cfrac {14}3 \Big]\\ &=\cfrac{56}{3}-\cfrac {14}3 =\cfrac {42}3=14\end{aligned}$

$\begin{array}{r}\therefore 6\le {\int }_4^{6}f(x)dx\le 14\end{array}$$\begin{aligned} \therefore~ 6\le \int_4^6 f(x)dx \le 14\end{aligned}$

$\therefore True$$\therefore~ True$