2024학년도 09월 15번

15. 최고차항의 계수가 $1$$1$인 삼차함수 $f(x)$$f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$$g(x)$를 $\begin{array}{c}g(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{f(x+3)\{f(x)+1\}}{f(x)}& (f(x)\ne 0)\\ 3& (f(x)=0)\end{array}\end{array}$$g(x)=\begin{cases} \cfrac{f(x+3)\{f(x)+1\}}{f(x)}&(f(x)\neq 0)\\ 3&(f(x)=0)\end{cases}$이라 하자. $\underset{x\to 3}{lim}g(x)=g(3)-1$$\lim\limits_{ x\to 3} g(x)=g(3)-1$일 때, $g(5)$$g(5)$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• $f(x)=x^3+\sim$$f(x)=x^3+\sim$

• $\underset{x\to 3}{lim}g(x)=g(3)-1$$\lim\limits_{ x\to 3}g(x)=g(3)-1$을 살펴보자.

  만일 $f(3)\ne 0$$f(3)\neq 0$이면, $g(3)=3$$g(3)=3$이고 $g(3)=g(3)-1$$g(3)=g(3)-1$을 만족시켜야하지만..당연히....

  $\therefore f(3)=0$$\therefore~ f(3)=0$

  그런데, $x=3$$x=3$일 때, $\underset{x\to 3}{lim}g(x)$$\lim\limits_{ x\to 3}g(x)$의 극한값이 존재하기 위해서는 $f(3+1)=0$$f(3+1)=0$이어야 한다. ($\because f(3)+1\ne 0$$\because ~f(3)+1\neq 0$)

  $\therefore f(3)=f(6)=0$$\therefore~ f(3)=f(6)=0$

   

  이제 다시 극한값을 계산하면,

  $\underset{x\to 3}{lim}g(x)=g(3)-1=2$$\lim\limits_{ x\to 3} g(x)=g(3)-1=2$

• $f(x)=(x-3)(x-6)(x-\alpha )$$f(x)=(x-3)(x-6)(x-\alpha)$라 하자.

  $\underset{x\to 3}{lim}g(x)=\frac{x(x-3)(x+3-\alpha )\{f(x)+1\}}{(x-3)(x-6)(x-\alpha )}=\underset{x\to 3}{lim}\frac{x(x+3-\alpha )\{f(x)+1\}}{(x-6)(x-\alpha )}=2$$\lim\limits_{ x\to 3}g(x)=\cfrac {x(x-3)(x+3-\alpha)\{f(x)+1\}}{(x-3)(x-6)(x-\alpha)}=\lim\limits_{x\to 3}\cfrac{x(x+3-\alpha)\{f(x)+1\}}{(x-6)(x-\alpha)}=2$

  계산하면,

  $\frac{3(6-\alpha )}{-3(3-\alpha )}=2(f(3)+1=1)$$\cfrac {3(6-\alpha)}{-3(3-\alpha)}=2\quad (f(3)+1=1)$

   

  $\therefore \alpha =4$$\therefore~ \alpha=4$

$\therefore f(x)=(x-3)(x-6)(x-4)$$\therefore~ f(x)=(x-3)(x-6)(x-4)$

$\therefore g(5)=\frac{f(8)\{f(5)+1\}}{f(5)}=\frac{40\cdot -1}{-2}=20$$\therefore~ g(5)=\cfrac {f(8)\{f(5)+1\}}{f(5)}=\cfrac {40\cdot -1}{-2}=20$​