2024학년도 09월 14번

14. 두 자연수 $a,b$$a,~b$에 대하여 함수 $\begin{array}{c}f(x)=\{\begin{array}{ll}{2}^{x+a}+b& (x\le -8)\\ -3^{x-3}+8& (x>-8)\end{array}\end{array}$$f(x)=\begin{cases} 2^{x+a}+b &(x\le -8)\\ -3^{x-3}+8&(x>-8)\end{cases}$이 다음 조건을 만족시킬 때, $a+b$$a+b$의 값을 구하시오.

집합 $\{f(x)|x\le k\}$$\{f(x)|x\le k\}$의 원소 중 정수인 것의 개수가 $2$$2$가 되도록 하는 모든 실수 $k$$k$의 값의 범위는 $3\le k<4$$3\le k<4$이다.

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i. 정리

• $a,b\in \mathbb{N}$$a,~b\in\mathbb N$

• 그래프를 대충 그려보자.

  

  • $x>-8$$x>-8$일 때를 생각하자.

    $f(x)<8$$f(x)<8$ 이고 $f(3)=7$$f(3)=7$이고 $f(4)=5$$f(4)=5$이고 조건을 맞추기 위해서는

    $f(x)\ge 6$$f(x)\ge 6$이 되도록 만들면 된다. $(3\le k<4)$$(3\le k<4)$

• $x\le -8$$x\le -8$일 때를 생각해보자.

  $x\le -8$$x\le -8$일 때 $f(x)$$f(x)$는 감소함수이고, $f(x)>5$$f(x)>5$를 만족해야 한다. ($\therefore b=5$$\therefore~ b=5$)

  $f(-8)$$f(-8)$의 범위를 생각하면...$6\le f(-8)<7$$6\le f(-8)<7$을 만족해야 한다.

  $6\le 2^{-8+a}+5<7$$6\le 2^{-8+a}+5<7$

  $1\le 2^{a-8}<2$$1\le 2^{a-8} <2$

  $\therefore a=8$$\therefore~ a=8$

$\therefore a+b=13$$\therefore~ a+b=13$