2024학년도 09월 13번

13. 두 실수 $a,b$$a,~b$에 대하여 함수 $\begin{array}{c}f(x)=\{\begin{array}{ll}-\frac{1}{3}{x}^3-a{x}^2-bx& (x<0)\\ \frac{1}{3}{x}^3+a{x}^2-bx& (x\ge 0)\end{array}\end{array}$$f(x)=\begin{cases} -\cfrac 13 x^3 -ax^2 -bx&(x<0)\\ \cfrac 13 x^3 +ax^2 -bx&(x\ge 0)\end{cases}$ 이 구간 $(-\mathrm{\infty },-1]$$(-\infty,~-1]$에서 감소하고 구간 $[-1,\mathrm{\infty })$$[-1,~\infty)$에서 증가할 때, $a+b$$a+b$의 최댓값을 $M$$M$, 최솟값을 $m$$m$이라 하자. $M-m$$M-m$의 값을 구하시오.

---

i. 생각

• $x=0$$x=0$에서 연속인데, 주어진 함수는 $x=0$$x=0$을 기준으로 표현되어 있다.

  좀 생각하면, $f^{\prime }(-1)=0$$f'(-1)=0$이고 $f^{\prime }(0)\ge 0$$f'(0)\ge 0$을 생각할 수 있다.

   

  $\begin{array}{c}{f}^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}-x^2-2ax-b& (x<0)\\ x^2+2ax-b& (x\ge 0)\end{array}\end{array}$$f'(x)=\begin{cases} -x^2 -2ax -b&(x<0)\\ x^2 +2ax -b&(x\ge 0)\end{cases}$

   

  $f^{\prime }(-1)=-1+2a-b=0⟶b=2a-1$$f'(-1)=-1+2a-b=0\quad \longrightarrow \quad b=2a-1$​

  $f^{\prime }(0)=-b\ge 0⟶b\le 0$$f'(0)=-b\ge 0\quad \longrightarrow \quad b\le 0$

   

• $a+b$$a+b$의 범위를 구하기 위해서는

  $a+b=a+2a-1=3a-1$$a+b=a+2a-1=3a-1$의 범위를 구하면 된다.

  즉, $a$$a$의 범위를 구하면 된다.

   

  우선 실수를 방지하기 위해, $b\le 0$$b\le 0$을 이용해서 계산을 하자.

  $2a-1\le 0⟶a\le \frac{1}{2}$$2a-1\le 0\quad \longrightarrow \quad a\le \cfrac 12$

  $3a-1\le \frac{1}{2}$$3a-1\le \cfrac 12$

• $a$$a$의 범위를 또 어디서 정할 수 있을까?

  문제 조건을 다시 살펴보면, $[-1,\mathrm{\infty })$$[-1,~\infty)$에서 증가한다. 어?

  이 조건을 만족시키기 위해서는 $f^{\prime }(0)=0$$f'(0)=0$이고 $f^{\prime }(\alpha )=0$$f'(\alpha)=0$ (단, $\alpha \le 0$$\alpha \le 0$인 실수)이거나 $f^{\prime }(x)=0$$f'(x)=0$이 허근을 가지면 된다!

   

  $f^{\prime }(x)=x^2+2ax-b$$f'(x)=x^2 +2ax-b$에서 판별식을 쓰면, $a^2+b\le 0$$a^2 +b\le 0$

  $a^2-2a-1\le 0$$a^2-2a-1\le 0$을 풀면,

  $-1-\sqrt{2}\le a\le -1+\sqrt{2}$$-1-\sqrt 2 \le a \le -1+\sqrt 2$

  위의 조건과 합치면,

  $-1-\sqrt{2}\le a\le \frac{1}{2}$$-1-\sqrt 2 \le a \le \cfrac 12$

$\therefore -4-3\sqrt{2}\le a+b=3a-1\le \frac{1}{2}$$\therefore~ -4-3\sqrt 2 \le a+b=3a-1\le \cfrac 12$

$\therefore M-m=\frac{9}{2}+3\sqrt{2}$$\therefore~ M-m=\cfrac 92 +3\sqrt 2$