2023년 07월 22번

22. 최고차항의 계수가 양수인 사차함수 $f(x)$$f(x)$가 있다. 실수 $t$$t$에 대하여 함수 $g(x)$$g(x)$를 $g(x)=f(x)-x-f(t)+t$$g(x)=f(x)-x-f(t)+t$라 할 때, 방정식 $g(x)=0$$g(x)=0$의 서로 다른 실근의 개수를 $h(t)$$h(t)$라 하자. 두 함수 $f(x)$$f(x)$와 $h(t)$$h(t)$가 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) $\underset{t\to -1}{lim}\{h(t)-h(-1)\}=\underset{t\to 1}{lim}\{h(t)-h(1)\}=2$$\lim\limits_{ t\to -1} \{h(t)-h(-1)\} =\lim\limits_{ t\to 1} \{h(t)-h(1)\} =2$

(나) $\begin{array}{r}{\int }_0^{\alpha }f(x)dx={\int }_0^{\alpha }|f(x)|dx\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^{\alpha } f(x)dx =\int_0^{\alpha} |f(x)|dx\end{aligned}$를 만족시키는 실수 $\alpha$$\alpha$의 최솟값은 $-1$$-1$이다.

(다) 모든 실수 $x$$x$에 대하여 $\frac{d}{dx}\begin{array}{r}{\int }_0^x\{f(u)-ku\}du\ge 0\end{array}$$\cfrac d{dx}\begin{aligned} \int_0^x \{f(u)-ku\}du\ge 0\end{aligned}$이 되도록 하는 실수 $k$$k$의 최댓값은 $f^{\prime }(\sqrt{2})$$f'(\sqrt 2)$이다.

$f(6)$$f(6)$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• $f(t)-t$$f(t)-t$는 상수! 편의상 $f(t)-t=k$$f(t)-t=k$라 하자. $k$$k$는 상수

  $g(x)=f(x)-x-k$$g(x)=f(x)-x-k$

• $g(x)=0$$g(x)=0$을 생각하자.

  $g(x)$$g(x)$는 사차함수..으응??

  

  딱 이거네~

  $g(x)=a(x+1{)}^2(x-1{)}^2$$g(x)=a(x+1)^2(x-1)^2\quad$(단, $a$$a$는 양수)

  $\therefore f(x)=a(x+1{)}^2(x-1{)}^2+x+k$$\therefore~ f(x)=a(x+1)^2(x-1)^2 +x+k$

• 조건 (나)는 뭘 의미할까...?

  우선 $y=f(x)$$y=f(x)$의 그래프를 생각해보자.

  $y=f(x)$$y=f(x)$와 $y=x+k$$y=x+k$의 교점의 $x$$x$좌표는 각각 $-1,1$$-1,~1$이고 접한다. 어?

  

  $0$$0$부터 $\alpha$$\alpha$까지 $f(x)$$f(x)$의 부호가 변하지 않으면 되니까...으응?

  $f(-1)=0$$f(-1)=0$이라는 소리구나!

  $f(-1)=-1+k=0$$f(-1)=-1+k=0$

  $\therefore k=1$$\therefore~ k=1$

  $\therefore f(x)=a(x+1{)}^2(x-1{)}^2+x+1$$\therefore~ f(x)=a(x+1)^2(x-1)^2 +x+1$

• 조건 (다)를 살펴보자.

  $f(x)-kx\ge 0$$f(x)-kx\ge 0$

  $f(x)\ge kx$$f(x)\ge kx$

  그래프를 생각하면,

  

  워워....그냥 원점에서 $y=f(x)$$y=f(x)$에 그은 접선의 방정식의 기울기가 $f^{\prime }(\sqrt{2})$$f'(\sqrt 2)$라는 거네.

  뭐 이미 원점지나는 건 주어졌으니까..

  $x=\sqrt{2}$$x=\sqrt 2$에서의 접선의 방정식이 $y=f^{\prime }(\sqrt{2})x$$y=f'(\sqrt 2)x$가 되도록 정하면 되겠다.

ii. 계산하자...

• 미분하자.

  $f^{\prime }(x)=2a(x-1)(x+1{)}^2+2a(x-1{)}^2(x+1)+1$$f'(x)=2a(x-1)(x+1)^2+2a(x-1)^2 (x+1)+1$

  $f^{\prime }(\sqrt{2})$$f'(\sqrt 2)$.....아..식을 좀 더 정리하자.

  $f^{\prime }(x)=2a(x^2-1)(x+1)+2a(x^2-1)(x-1)+1$$f'(x)=2a(x^2 -1)(x+1)+2a(x^2-1)(x-1)+1$

  $f^{\prime }(\sqrt{2})=2a(\sqrt{2}+1)+2a(\sqrt{2}-1)+1=4\sqrt{2}a+1$$f'(\sqrt 2)= 2a(\sqrt 2+1)+2a(\sqrt 2-1)+1=4\sqrt 2 a+1$

• 접선의 방정식을 구하자.

  $y=f^{\prime }(\sqrt{2})(x-\sqrt{2})+f(\sqrt{2})$$y=f'(\sqrt 2)(x-\sqrt 2)+f(\sqrt 2)$

  $f(x)=a(x^2-1{)}^2+x+1$$f(x)=a(x^2-1)^2 +x+1$이니까..

  $f(\sqrt{2})=a+\sqrt{2}+1$$f(\sqrt 2)=a+\sqrt 2+1$

  $\therefore y=f^{\prime }(\sqrt{2})x-\sqrt{2}{f}^{\prime }(\sqrt{2})+f(\sqrt{2})$$\therefore~ y=f'(\sqrt 2)x -\sqrt 2 f'(\sqrt 2)+f(\sqrt 2)$

  $\sqrt{2}{f}^{\prime }(\sqrt{2})=f(\sqrt{2})$$\sqrt 2 f'(\sqrt 2)=f(\sqrt 2)$

  아오.....

  $8a+\sqrt{2}=a+\sqrt{2}+1$$8a+\sqrt 2 =a+\sqrt 2+1$

  $\therefore a=\frac{1}{7}$$\therefore~ a=\cfrac 17$

$\therefore f(x)=\frac{1}{7}(x^2-1{)}^2+x+1$$\therefore~ f(x)=\cfrac 17 (x^2 -1)^2 +x+1$

$\therefore f(6)=\frac{1}{7}({35}^2)+6+1=5\cdot 35+6+1=175+7=182$$\therefore~ f(6)=\cfrac 17 (35^2)+6+1=5\cdot 35+6+1=175+7=182$