2024학년도 06월 20번

20. 최고차항의 계수가 $1$$1$인 이차함수 $f(x)$$f(x)$에 대하여 함수 $\begin{array}{r}g(x)={\int }_0^{x}f(t)dt\end{array}$$\begin{aligned} g(x)=\int_0^x f(t)dt\end{aligned}$가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(9)$$f(9)$의 값을 구하시오.

$x\ge 1$$x\ge 1$인 모든 실수 $x$$x$에 대하여 $g(x)\ge g(4)$$g(x)\ge g(4)$이고 $|g(x)|\ge |g(3)|$$|g(x)|\ge |g(3)|$이다.

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i. 생각

• $\begin{array}{r}g(x)={\int }_0^{x}f(t)dt\end{array}$$\begin{aligned} g(x)=\int_0^x f(t)dt\end{aligned}$에서

  • $g(0)=0⟶g(x)=\frac{1}{3}{x}^3+a{x}^2+bx$$g(0)=0\quad \longrightarrow \quad g(x)=\cfrac 13 x^3 +ax^2+bx$

ii. 시작!

• $x\ge 1$$x\ge 1$일 때 $g(x)\ge g(4),\mathrm{\&}|g(x)|\ge |g(3)|$$g(x)\ge g(4),~\&~|g(x)|\ge |g(3)|$을 만족시키는 그래프의 개형을 그려보자

  • $g(x)\ge g(4)$$g(x)\ge g(4)$를 생각하면, 아마도 $x=4$$x=4$에서 극솟값을 가진다고 생각하는 게 합리적일 거 같은데?

  • $|g(x)|\ge |g(3)|$$|g(x)|\ge |g(3)|$의 조건도 염두에 두도록 하자.

  • 뭐 조건에 안 맞으면 다시 대충 그려보면서 맞춰나가면 되는 거지 뭐.

  

  절댓값 조건에 맞춰서 생각하면

  

  $g(3)=0$$g(3)=0$을 만족시켜야 한다!

  $\therefore \begin{array}{r}g(3)={\int }_0^{3}f(x)dx=0\end{array}$$\therefore~ \begin{aligned} g(3)=\int_0^3 f(x)dx=0\end{aligned}$

  그리고 $g^{\prime }(4)=f(4)=0$$g'(4)=f(4)=0$이어야 한다! 극솟값을 생각한 게 맞았어!

iii. 계산

• $f(x)=(x-\alpha )(x-4)$$f(x)=(x-\alpha)(x-4)$라 하고

• $g(3)=0$$g(3)=0$을 계산하면, $\alpha =\frac{6}{5}$$\alpha =\cfrac 65$

$\therefore f(x)=(x-\frac{6}{5})(x-4)$$\therefore~ f(x)=(x-\cfrac 65 )(x-4)$

$\therefore f(9)=39$$\therefore~ f(9)=39$