2024학년도 06월 15번

15. 자연수 $k$$k$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 수열 $\{a_n\}$$\{a_n\}$있다.

$a_1=k$$a_1=k$이고, 모든 자연수 $n$$n$에 대하여 $\begin{array}{c}{a}_{n+1}=\{\begin{array}{ll}{a}_n+2n-k& (a_n\le 0)\\ a_n-2n-k& (a_n>0)\end{array}\end{array}$$a_{n+1}=\begin{cases} a_n+2n-k&(a_n\le 0)\\ a_n-2n-k&(a_n>0)\end{cases}$이다.

$a_3\times a_4\times a_5\times a_6<0$$a_3\times a_4\times a_5\times a_6<0$이 되도록 하는 모든 $k$$k$의 값의 합을 구하시오.

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i. 생각

• $k$$k$는 자연수

• $a_3,\cdots ,a_6$$a_3,~\cdots,~a_6$에서 음수는 홀수개!

• 에라이..대입해보자.

ii. 그냥 저냥

• $a_1=k>0$$a_1=k>0$

  $a_2=a_1-2-k=-2$$a_2=a_1-2-k=-2$

• $a_3=a_2+4-k=2-k$$a_3=a_2+4-k=2-k$

  경우를 나눠야 겠다.

  i. $k=1$$k=1$

  $a_3=1$$a_3=1$

  $a_4=-6$$a_4=-6$

  $a_5=1$$a_5=1$

  $a_6=-6$$a_6=-6$

  에라이....왠지 바로 나오나 했다.

  ii. $k>2$$k>2$일 때,

  $a_4=8-2k$$a_4=8-2k$

  헐...또 나눠야해?

  i. $k=3$$k=3$일 때,

  $a_3=-1,a_4=2,a_5=-9,a_6=-2$$a_3=-1,~a_4=2,~a_5=-9,~a_6=-2$

  오! 우선 하나 나왔고!

  iii. $k\ge 5$$k\ge 5$

  $a_3=2-k<0$$a_3=2-k<0$

  $a_4=8-2k<0$$a_4=8-2k<0$

  $a_5=16-3k$$a_5=16-3k$

  아오....

  • $k=5$$k=5$이면

    $a_3=-3,a_4=-2,a_5=1,a_6=-14$$a_3=-3,~a_4=-2,~a_5=1,~a_6=-14$

    오...얘도 된다.

  • $k\ge 6$$k\ge 6$이면

    아무튼 $a_3,a_4,a_5$$a_3,~a_4, a_5$는 다 음수니까...

    $a_6=26-4k>0$$a_6=26-4k>0$

    $k<\frac{13}{2}$$k<\cfrac{13}2$

    $\therefore k=6$$\therefore~ k=6$

$\therefore 3+5+6=14$$\therefore~ 3+5+6=14$