2024학년도 06월 14번

14. 실수 $a(a\ge 0)$$a(a\ge 0)$에 대하여 수직선 위를 움직이는 점 $P$$P$의 시각 $t(t\ge 0)$$t(t\ge 0)$에서의 속도 $v(t)$$v(t)$를 $v(t)=-t(t-1)(t-a)(t-2a)$$v(t)=-t(t-1)(t-a)(t-2a)$라 하자. 점 $P$$P$가 시각 $t=0$$t=0$일 때 출발한 후 운동 방향을 한 번만 바꾸도록 하는 $a$$a$에 대하여, 시각 $t=0$$t=0$에서 $t=2$$t=2$까지 점 $P$$P$의 위치의 변화량의 최댓값을 구하시오.

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i. 생각

• 운동방향이 한 번 바뀐다

• $v(0)=v(1)=0$$v(0)=v(1)=0$이다.

• 그럼 대충 개형을 그려보자.

  

  

  

• $t=0$$t=0$부터 $t=2$$t=2$까지의 위치의 변화량이 최대가 되야한다? 그럼 뭐 딱이네

  

  일 때 최대가 되야 한다.

  $\therefore a=1$$\therefore~ a=1$

ii. 계산

$\begin{array}{rl}{\int }_0^2|v(t)|dt& ={\int }_0^{2}v(t)dt\\ & ={\int }_{-1}^1-(u+1)u^2(u-1)du(t-1=u\text{로 치환적분})\\ & =2{\int }_0^1(-u^4+u^2)du\\ & =\frac{4}{15}\end{array}$$\begin{aligned}\int_0^2 |v(t)|dt &=\int_0^2 v(t)dt\\ &=\int_{-1}^1-(u+1)u^2 (u-1)du\quad (t-1=u\text{로 치환적분})\\ &=2\int_0^1 (-u^4+u^2)du \\ &= \cfrac 4{15} \end{aligned}$