2024학년도 06월 22번

22. 정수 $a(a\ne 0)$$a(a\neq 0)$에 대하여 함수 $f(x)$$f(x)$를 $f(x)=x^3-2a{x}^2$$f(x)=x^3 -2ax^2$이라 하자. 다음 조건을 만족시키는 모든 정수 $k$$k$의 값의 곱이 $-12$$-12$가 되도록 하는 $a$$a$에 대하여 $f^{\prime }(10)$$f'(10)$의 값을 구하시오.

 

함수 $f(x)$$f(x)$에 대하여 $\{\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\}\times \{\frac{f(x_2)-f(x_3)}{x_2-x_3}\}<0$$\Big\{ \cfrac {f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\Big\}\times \Big\{ \cfrac {f(x_2)-f(x_3)}{x_2-x_3}\Big\}<0$ 을 만족시키는 세 실수 $x_1,x_2,x_3$$x_1,~x_2,~x_3$이 열린 구간 $(k,k+\frac{3}{2})$$\big(k,~k+\cfrac 32\big)$에 존재한다.

 

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i. 정리

• $a\ne 0,a\in \mathbb{Z}$$a\neq 0,~a\in\mathbb Z$

• $f(x)=x^3-2a{x}^2=x^2(x-2a)$$f(x)=x^3 -2ax^2 =x^2 (x-2a)$

  $a$$a$의 부호에 따라 개형이 정해지고...

• $f^{\prime }(x)=x(3x-4a)$$f'(x)=x(3x -4a)$

  $x=0,x=\frac{4a}{3}$$x=0,~x=\cfrac {4a}3$에서 극값...아...$a$$a$의 부호...

ii. 생각

• $x_1,x_2,x_3$$x_1,~x_2,~x_3$가 존재만하면 되니까 편의상 $x_1<x_2<x_3$$x_1<x_2<x_3$라 하자.

• $(x_1,f(x_1)),(x_2,f(x_2))$$(x_1,~f(x_1)),~(x_2,~f(x_2))$의 기울기와 $(x_2,f(x_2)),(x_3,f(x_3))$$(x_2,~f(x_2)),~(x_3,~f(x_3))$의 기울기의 곱이 음수이다.

  열린구간 $(k,k+\frac{3}{2})$$\big(k,~k+\cfrac 32\big)$이 극값을 포함하고 있으면 된다. (뭐 하나만 포함해도 되고 둘다 포함해도...ㅅㅂ)

• $k<0<k+\frac{3}{2}$$k<0<k+\cfrac 32$ 이거나 $k<\frac{4}{3}a<k+\frac{3}{2}$$k<\cfrac 43 a<k+\cfrac 32$를 만족시키는 정수 $k$$k$의 곱이 $-12$$-12$가 되도록 하는 $a$$a$의 값?

iii. $k<0<k+\frac{3}{2}$$k<0<k+\cfrac 32$

$k=-1$$k=-1$인 경우는 반드시 포함된다...제길

어? 그럼 나머지 부등식을 풀었을 때, $k$$k$의 곱이 $12$$12$면 되는구나..

• $k<\frac{4}{3}a<k+\frac{3}{2}$$k<\cfrac 43 a<k+\cfrac 32$를 풀자

  $\frac{4}{3}a-\frac{3}{2}<k<\frac{4}{3}a$$\cfrac 43a -\cfrac 32 <k<\cfrac 43a$

  부등식을 보아하니 $-4,-3$$-4, -3$이거나 $3,4$$3,~4$가 나와야한다.

  $\frac{4}{3}a<0$$\cfrac 43a <0$일 때와 ....아.. $a$$a$가 양수일 때와 음수일 때로 나눠야 하네...

iv. $a>0$$a>0$일 때,

• $2<\frac{4}{3}a-\frac{3}{2}<3$$2<\cfrac 43 a-\cfrac 32<3$ 이고, $4<\frac{4}{3}a<5$$4<\cfrac 43 a<5$이어야 한다.

  $\frac{21}{8}<a<\frac{27}{8}$$\cfrac {21}8<a<\cfrac {27}8$이고, $3<a<\frac{15}{4}$$3<a<\cfrac {15}4$

  어랏? 만족하는 정수가 없다!

v. $a<0$$a<0$일 때,

• $-5<\frac{4}{3}a-\frac{3}{2}<-4$$-5<\cfrac 43a -\cfrac 32 <-4$ 이고, $-3<\frac{4}{3}a<-2$$-3<\cfrac 43 a<-2$이어야 한다.

  $-\frac{21}{8}<a<-\frac{20}{8}$$-\cfrac {21}8 <a<-\cfrac {20}8$이고, $-\frac{9}{4}<a<-\frac{3}{2}$$-\cfrac 94 <a<-\cfrac 32$

  이를 만족하는 정수 $a$$a$는 오직 $-2$$-2$ 뿐이다!!

vi. 계산

$f^{\prime }(x)=x(3x-4a)=x(3x+8)$$f'(x)=x(3x-4a)=x(3x+8)$

$\therefore f^{\prime }(10)=10\cdot 38=380$$\therefore~ f'(10)=10\cdot 38=380$