09. 삼차함수 (수II)

Q.극값이 존재하는 삼차함수는 점대칭일까? (극값이 없어도 가능은 한데..그러면 변곡점까지 가야하니..)

• 느낌상 점대칭 같은데?

• 그럼 점대칭이 맞다면 이를 활용할 수 있을까?

  • $(a,b)$$(a,~b)$에 대해 점대칭이고, 극대값과 극솟값을 안다면?

    $y=f(x)$$y=f(x)$는 삼차함수이고 $(a,b)$$(a,~b)$에 대해 점대칭이고 극댓값과 극솟값을 각각 $\alpha ,\beta$$\alpha,~\beta$라 하자.

    $g(x)=(x-\gamma )x(x+\gamma )$$g(x)=(x-\gamma)x(x+\gamma)$로 두고, 극댓값이 $\alpha -b$$\alpha -b$ 또는 극솟값이 $\beta -b$$\beta -b$가 되도록하는 $\gamma$$\gamma$를 구한 후,

    이 함수를 $x$$x$축으로 $a$$a$, $y$$y$축으로 $b$$b$만큼 이동시키면 되겠네?

Proof.

참고.

축대칭$(x=a)$$(x=a)$ : $f(a+x)=f(a-x)$$f(a+x)=f(a-x)$ , 여기에 $x\leftarrow x-a$$x\leftarrow x-a$를 대입하면, $f(x)=f(2a-x)$$f(x)=f(2a-x)$

점대칭 $(a,f(a))$$(a,f(a))$:$f(a+x)-f(a)=f(a)-f(a-x)$$f(a+x)-f(a)=f(a)-f(a-x)$ , 여기에 $x\leftarrow x-a$$x\leftarrow x-a$를 대입해도 되고.

Idea

$y=f(x)$$y=f(x)$의 그래프를 각각 $x$$x$축, $y$$y$축으로 이동시켜서 원점대칭인 함수로 만들 수 있으면,

$g(x)=f(x-a)+b$$g(x)=f(x-a)+b$라 하면 $y=f(x)$$y=f(x)$는 $(a,b)$$(a,~b)$에 대해 점대칭이다.

 

i. $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$$f(x)=ax^3 +bx^2 +cx+d\quad$(단, $a,b,c,d$$a,~b,~c,~d$는 실수이고 극값이 존재한다.)

극값이 존재하지 않으면, 미적분 선택하지 않은 아해는 변곡점 모르잖아...

ii. $f^{\prime }(x)$$f'(x)$를 계산하자.

$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$$f'(x)=3ax^2 +2bx +c$

이 함수는 $x=-\frac{b}{3a}$$x=-\cfrac b{3a}$에 대해 축대칭이다.

$f^{\prime }(x)$$f'(x)$를 $x$$x$축으로 $-(-\frac{b}{3a})$$-\Big(-\cfrac b{3a}\Big)$ 만큼 이동시킨 함수를 $g^{\prime }(x)$$g'(x)$라 하면 $y=g^{\prime }(x)$$y=g'(x)$는 $y$$y$축 대칭이다.

오호....

iii. 증명끝.

$g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x-\frac{b}{3a})$$g'(x)=f'\big(x-\cfrac b{3a}\big)$

적분하면,

$g(x)=f(x-\frac{b}{3a})+C$$g(x)=f\big(x-\cfrac b{3a}\big) +C\quad$(단, $C$$C$는 적분상수)

$g(0)=0$$g(0)=0$이면 $y=g(x)$$y=g(x)$는 원점대칭이다.

$g(0)=f(-\frac{b}{3a})+C=0$$g(0)=f\big(-\cfrac b{3a}\big)+C=0$

$\therefore C=-f(-\frac{b}{3a})$$\therefore~ C=-f\big(-\cfrac b{3a}\big)$

$g(x)=f(x-\frac{b}{3a})-f(-\frac{b}{3a})$$g(x)=f(x-\cfrac b{3a})-f(-\cfrac b{3a})$는 원점대칭, 곧 $(0,0)$$(0,0)$인 점에 대한 점대칭이다.

$y=g(x)$$y=g(x)$를 $x$$x$축으로 $-\frac{b}{3a}$$-\cfrac b{3a}$, $y$$y$축으로 $f(-\frac{b}{3a})$$f\big(-\cfrac b{3a})$ 이동시키면, $y=f(x)$$y=f(x)$는 점$(-\frac{b}{3a},f(-\frac{b}{3a}))$$\Big(-\cfrac b{3a},~f\big(-\cfrac b{3a}\big)\Big)$ 에 대해 점대칭이다.

 

활용?

뭐 막히거나 계산 더럽다 싶을 때, 점대칭이지? 하면서 접근하면 돌파구가 생기는 경우가 많더라구. 올해들어서 지난 2~3년간 쌓인 문제들 풀어보는데 경향이 바뀌어서 그런가... 삼차함수가 꽤나 짜증나게 계산더럽더라구. 사차함수야 원래 이과문제로 자주 다루었으니 그려려니 하는데...

 

뱀발.

근데 이거 삼차방정식 근 구하는 데에도 쓸 수 있네?

고등학교 때 간혹 어떤 문제집에서 삼차함수 해법에 넣어놓은 게 있었는데 갑자기 뜬금없이 무슨 문자를 대입해서 치환시켜서 풀리던게 이거였네...

에라이....... 넣지 말던가 차라리 미분 그래프 그리는 법 후에 넣어놓을 것이지 왜 이차방정식 란에 넣어놔서 뭐야 이딴 식은 하게 만들어...