06. 적분이란? (미적분)

앞선 글에 추가사항

조금 더 수학적으로 표현하기

매 번, 일일이 등차수열을 만들고, 다시 넓이의 부분요소를 구하는 수열을 만들고, 그 합을 구하고, 다시 구간을 나눈 횟수를 무한대로 보내버리는 계산은 상당히 번거로울 것임에 틀림이 없다.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{b-a}{n}\sum _{k=1}^{n}f(x_k)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{b-a}{n}\sum _{k=1}^{n}f(a+\frac{b-a}{n}k)$$\lim\limits_{n\to\infty} \cfrac {b-a} n \sum\limits_{k=1}^n f(x_k)=\lim\limits_{n\to\infty} \cfrac {b-a} n \sum\limits_{k=1}^n f\left( a+ \cfrac{b-a} n k\right)$

그래서 수학자들은 다음의 기호를 발명했다. 바로 $\int$$~\Large\int$(Integral)이란 기호를 이용하여 나타내기로 약속했다.

우선, 다음의 과정을 살펴보자. 기본은 앞서 구한 수열을 이용해 구한 방법과 동일하다. 다만, 구해가면서 조금씩 적분기호를 사용하기 위하여 변환되는 과정을 거칠 것이다.

앞서 수열에서와 같이 함수의 구간을 $n$$~n$등분으로 나눠 각 직사각형의 합을 구할 것이다.. 그러기 위해 각각의 나뉘어진 직사각형의 가로와 세로, 나뉘어진 직사각형의 넓이를 생각해 보면,

1 . 가로의 길이

구간 $[a,b]$$~[a,b]$를 $n$$~n$등분한 길이. 앞서 다룰 때에는 $\frac{b-a}{n}$$~\cfrac{b-a}n$

편의상 $\mathrm{\Delta }x$$~\Delta x$라 하자. 그러면,

$\mathrm{\Delta }x=\frac{b-a}{n}$$\Delta x = \cfrac {b-a} n$

2 . 세로의 길이

함수가 주어져 있으므로 $x$$~x$일 때, $f(x)$$~f(x)$임은 명백.

3 . 잘게 나누어진 부분의 넓이를 $\mathrm{\Delta }{S}_x$$~\Delta S_x$라 하면,

$\mathrm{\Delta }{S}_x=\text{(밑변)}\times \text{(높이)}=\frac{b-a}{n}\times f(x_k)=\frac{b-a}{n}f(a+\frac{b-a}{n}k)=\mathrm{\Delta }x\times f(x)$$\Delta S_x =\text{(밑변)}\times\text{(높이)}=\cfrac{b-a}n \times f(x_k)=\cfrac {b-a}n f\left( a+\cfrac {b-a}n k \right)=\Delta x \times f(x)$

보기 편하게 하기 위해 일반적으로 다음과 같이 표현한다.

$\mathrm{\Delta }{S}_x=f(x)\mathrm{\Delta }x$$\Delta S_x = f(x)\Delta x$

4 . 앞서 수열을 이용해 접근한 방법과 같이 $n\to \mathrm{\infty }$$~n\to\infty$로 보낸다고 생각하자.

새로운 방법을 생각할 필요없이 변화량을 의미하는 $\mathrm{\Delta }$$~\Delta$를 $d$$~d$로 바꾸면 된다.

$dS=f(x)dx$$dS=f(x)dx$

즉, 가로의 간격을 $dx$$~dx$, 높이는 $f(x)$$~f(x)$로 보는 시각을 바꿨을 뿐입니다. 앞으로 편의상 이런 작업을 "미소구간의 넓이(또는 부피 등등) 구하기"라 부르자! (내맘대로)

5 . 이제 구간 $[a,b]$$~[a,b]$의 넓이를 합하도록 합시다. 여기서 앞서 말한 새로운 기호를 드디어 사용한다!.

$\begin{array}{r}{S}_a^b={}_a{S}_b=S={\int }_a^{b}f(x)dx\end{array}$$\begin{align}S_a^b={}_a S_b=S=\int_a ^bf(x)dx\end{align}$

이 식의 의미는 $a$$~a$부터 $b$$~b$구간까지의 함수를 무한히 잘라 각 직사각형의 넓이(?)의 합을 구한는 것이다.

주의 사항

편의상 넓이로 칭했지만, 주어진 함수가 주어진 구간 내에서 음수값을 취하면, 사각형의 넓이(?)는 음수로 나온다.(?)

즉, 엄밀히 말하면 넓이라기 보다는 그냥 넓이의 개념을 따온 것으로 볼 수 있다.

약간의 변형 사항들

겁낼 필요 없다. 그저 적분식으로 변환할 때, 식을 바라보는 관점을 조금씩 바꾼 것이 전부이다.

 

1. 적분 변수를 $x_k=\frac{b-a}{n}k$$~x_k=\cfrac {b-a} n k$로 바라 본 경우,

앞서 잘게 나눈 직사각형의 밑변과 높이를 다음과 같이 표현했다.

$\begin{array}{rl}\text{밑변 : }& \frac{b-a}{n}=\mathrm{\Delta }x\text{(공차)}\to \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{b-a}{n}=dx\\ \\ \text{높이 : }& f(x_k)=f(a+\frac{b-a}{n}k)=f(x)\end{array}$$\begin{align}\text{밑변 : }&~~\cfrac {b-a} n= \Delta x \quad\text{(공차)}\quad\rightarrow\quad \lim\limits_{n\to\infty} \cfrac {b-a} n = dx \\\ \\\ \text{높이 : }&~~f(x_k)=f\left(a+\cfrac {b-a} n k\right) =f(x)\end{align}$

우선 밑변은 놔둔 채, 높이를 바라보는 시각을 바꾸어 보자.

$x_k=a+\frac{b-a}{n}k$$x_k =a+\cfrac {b-a} n k~~$대신에 $x_k=\frac{b-a}{n}k$$~x_k=\cfrac {b-a} n k$로 바꿀 뿐입니다. 그럼 다음과 같이 식을 쓸 수 있다.

$S={\int }_{\mathrm{♢}}^{⧫}f(a+x)dx$$S=\int_{\diamondsuit}^{\blacklozenge}f(a+x)dx$

문제는 $\mathrm{♢}$$~\diamondsuit$와 $⧫$$~\blacklozenge$에 어떤 값이 들어갈 지 정해야 하는 것입니다. 복잡한 생각은 전혀 필요없다.

$\begin{array}{r}{\int }_a^{b}f(x)dx\end{array}$$\begin{align}\int_a^bf(x)dx\end{align}$에서 $a$$~a$와 $b$$~b$는 $x_k=a+\frac{b-a}{n}k$$~x_k=a+\cfrac {b-a} n k$에서 나왔다.

$\begin{array}{rlr}{x}_1& =a+\frac{b-a}{n}& \to n\to \mathrm{\infty }\to x_1=a\\ \\ x_n& =a+\frac{b-a}{n}n& \to n\to \mathrm{\infty }\to x_n=b\end{array}$$\begin{align} x_1 &= a+\cfrac {b-a}n &\quad\rightarrow\quad n\to\infty \quad \rightarrow x_1=a \\\ \\\ x_n &= a+\cfrac {b-a} n n&\quad\rightarrow\quad n\to\infty\quad \rightarrow x_n=b\end{align}$

똑같이 적용하면, $x_k=\frac{b-a}{n}k$$~x_k=\cfrac {b-a} n k$일 때, $x_1=0,x_n=b-a$$~x_1=0,~~x_n=b-a$

즉,

$$S={\int }_0^{b-a}f(a+x)dx$$

 

2. 적분변수를 $x_k=\frac{k}{n}$$~x_k= \cfrac k n$로 바라볼 때,

이번에는 $x_k=\frac{k}{n}$$~x_k=\cfrac k n$으로 바라보는 경우입니다. 역시 위에서 한 것과 마찬가지로 차근차근 적용해 보면,

앞선 내용에서 $\mathrm{\Delta }x=\frac{b-a}{n}$$~\Delta x=\cfrac {b-a} n$이었지만 $x_k=\frac{k}{n}$$~x_k=\cfrac k n$로 생각하면, $\mathrm{\Delta }x=\frac{1}{n}$$~\Delta x=\cfrac 1 n$으로 바꾸어야 한다.

그 이유는 $\mathrm{\Delta }x$$~\Delta x$는 밑변, 즉 공차를 의미하는 것이었다.

$\begin{array}{rl}\text{밑변 : }& \frac{b-a}{n}=(b-a)\frac{1}{n}=(b-a)\mathrm{\Delta }x\to \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=dx\\ \\ \text{높이 : }& f(a+(b-a)x_k)=f(a+(b-a)x)\end{array}$$\begin{align}\text{밑변 : }&~~\cfrac {b-a} n =(b-a)\cfrac 1 n= (b-a)\Delta x \quad\rightarrow\quad \lim\limits_{n\to\infty} \cfrac 1 n =dx \\\ \\\ \text{높이 : }&~~f(a+(b-a)x_k)=f(a+(b-a)x)\end{align}$

바꾼 식으로 미소구간의 넓이를 구해보면,

$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }S& =f(a+(b-a)x)\mathrm{\Delta }x\times (b-a)\\ \\ dS& =(b-a)f(a+(b-a)x)dx\end{array}$$\begin{align} \Delta S &= f(a+(b-a)x)\Delta x\times (b-a) \\\ \\\ dS&=(b-a)f(a+(b-a)x)dx\end{align}$

$x_k$$x_k$를 이용하여 적분구간을 구하면, $x_1=0,x_n=1$$~x_1 =0,~~x_n=1$이다.

$$S=(b-a){\int }_0^{1}f(a+(b-a)x)dx$$

 

이를 정리하면,

$적분변수$$적분변수$	$x=\frac{k}{n}$$x=\cfrac k n$	$x_k=\frac{b-a}{n}k$$x_k=\cfrac {b-a} n k$	$x=a+\frac{b-a}{n}k$$x=a+\cfrac {b-a} n k$
$적분두께(밑변)$$적분두께(밑변)$	$dx=\frac{1}{n}$$dx=\cfrac 1 n$	$dx=\frac{b-a}{n}$$dx=\cfrac {b-a} n$	$dx=\frac{b-a}{n}$$dx=\cfrac {b-a}n$
$적분구간$$적분구간$	$\begin{array}{r}{\int }_0^1\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^1\end{aligned}$	$\begin{array}{r}{\int }_0^{b-a}\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^{b-a}\end{aligned}$	$\begin{array}{r}{\int }_a^b\end{array}$$\begin{aligned} \int_a^b\end{aligned}$
$표현$$표현$	$\begin{array}{r}(b-a){\int }_0^{1}f(a+(b-a)x)dx\end{array}$$\begin{aligned} (b-a)\int_0^1 f(a+(b-a)x)dx\end{aligned}$	$\begin{array}{r}{\int }_0^{b-a}f(a+x)dx\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^{b-a} f(a+x)dx\end{aligned}$	$\begin{array}{r}{\int }_a^{b}f(x)dx\end{array}$$\begin{aligned} \int_a^bf(x)dx\end{aligned}$

공식화 시켜서 외우지 말고, 적분 변수와, 적분 두께, 미소부분의 넓이의 표현을 어떻게 했는가를 이해하도록 하자.

 

여러가지 적분법

• 치환적분법

치환은 상당히 강력한 도구입니다. 복잡한 식을 좀 더 간단히 접근하고 계산 실수 또한 막아준다는 것은 다시 설명하지 않아도 알 것이라 믿습니다. 다음의 문제를 보도록 하자.

$${\int }_1^3\frac{x}{(x^2+1{)}^2}dx=?$$

유리함수의 적분 문제 외는 뭔가 다를 것입니다. 앞서 외운 공식으로는 막막할 따름이다. 그렇다고 특정함수를 먼저 생각해서 이를 미분한 함수가 $\frac{x}{(x^2+1{)}^2}$$~\cfrac x {(x^2 +1)^2}$가 되도록 함수를 떠올리기도 쉽지 않다. 물론 대학교 미적분학 교재에는 적분테이블이라고 해서 수십개가 있긴 한데, 어차피 공학용 계산기를 쓰니 알 필요 없다.

이럴 때, 접근할 수 있는 그 첫 번째 방법이 바로 치환 적분법이다. 뭐 그리 대단한 것이 아니라 그냥 치환을 이용하는 것이다.

그럼 무엇을 치환할 것인가? 당연히 $x$$~x$는 아닐 것이다. 아마 일반적으로 다음의 두 가지 경우를 생각하게 될 것이다.

$\text{치환 대상}$$\text{치환 대상}$	$t=x^2+1$$t=x^2 +1$	$t=(x^2+1{)}^2$$t=(x^2 +1)^2$
$\begin{array}{c}\text{적분 구간}\\ \text{(치환 대상 이용)}\end{array}$$\begin{matrix}\text{적분 구간} \\\ \text{(치환 대상 이용)}\end{matrix}$	$\begin{array}{c}a=1\to 1^2+1\\ b=3\to 3^2+1\end{array}$$\begin{matrix} a=1\quad\rightarrow\quad 1^2 +1 \\\ b=3\quad\rightarrow\quad 3^2 +1\end{matrix}$	$\begin{array}{c}a=1\to (1^2+1{)}^2\\ b=3\to (3^2+1{)}^2\end{array}$$\begin{matrix}a=1\quad\rightarrow\quad (1^2 +1)^2 \\\ b=3\quad\rightarrow\quad (3^2 +1)^2 \end{matrix}$
$dx\text{와}dx\text{ 의 관계}$$dx\text{와}~dx\text{ 의 관계}$	$dt=2xdx$$dt=2xdx$	$dt=2(x^2+1)\cdot 2xdx$$dt =2(x^2+1)\cdot 2xdx$

여기서 중요한 사실이 존재한다. 치환 적분은 치환할 식을 잘 정해야 한다. 잘못 잡으면 안 풀린다! (실제 적분에는 안 풀리는 적분식들이 훨씬 많이 존재한다. 못 푸는 것이 아니라 안 풀리는 문제말이다. 다만, 고등학교 과정에서는 풀 수 있는 문제들만 나오기 때문에, 치환 적분의 경우에는 치환할 대상을 못 찾은 것 뿐이라는 사실을 인지해야 한다.)

자, 그럼 이제 위에서 치환한 식을 이용하여 적분을 해보자.

• $t=x^2+1$$~t=x^2 +1$의 경우

적분구간은 $[1,3]$$~[1,3]$이지만, 치환을 해서 $[2,10]$$~[2,10]$으로 바뀜을 알 수 있다.

$\because x=1$$\because~~x=1$에서$x=3$$~x=3$까지의 적분이지만, $t=x^2+1$$~t=x^2 +1$로 치환을 했고, $t$$~t$에 관한 적분을 계산할 것이기 때문에, 구간을 $t$$~t$에 대해 바꾸어 주어야 한다.

이제,$t$$~t$와 $x$$~x$의 관계시을 이용해서 $dx$$~dx$를 $dt$$~dt$로 변환하는 작업을 해야할 것이다.

양변을 각각의 문자에 대해 미분한 형태이다. 혹은 양변을 $t$$~t$에 대해 미분한 후에 $dt$$~dt$를 양변에 곱한 것으로 봐도 무방하다. (앞서 미분에서 절대로 분수는 아니지만, 분수처럼 생각해도 괜찮음을 잊지 않았다면 식을 이해하는 데에 어려움이 없을 것이다.

즉, $dt=2xdx$$~dt=2xdx$가 됨을 알 수 있다.

이를 이용해서 식을 변환하면

$\begin{array}{rl}{\int }_1^3\frac{x}{(x^2+1{)}^2}dx& ={\int }_1^3\frac{x}{t^2}dx\\ & ={\int }_2^{10}\frac{x}{t^2}\times \frac{1}{2x}dt\\ & ={\int }_2^{10}\frac{1}{2t^2}dt\\ & =\frac{1}{2}{\int }_2^{10}\frac{1}{t^2}dt\\ & =\frac{1}{2}{\int }_2^{10}{t}^{-2}dt\end{array}$$\begin{align}\int_1^3 \cfrac x {(x^2 +1)^2 } dx &=\int_1^3 \cfrac x {t^2 } dx \\\ &=\int_2^{10} \cfrac x {t^2} \times \cfrac 1 {2x} dt \\\ &=\int_2^{10} \cfrac 1 {2t^2 } dt \\\ &= \cfrac 1 2 \int_2^{10} \cfrac 1 {t^2 } dt\\\ &=\cfrac 1 2 \int_2^{10} t^{-2} dt \end{align}$

이 식은 충분히 계산 가능한 적분식임을 알 수 있다. 만일 이 문제가 부정적분 문제였다면 위의 식을 계산한 후에 $t$$~t$를 $x$$~x$로 환원시켜주면 된다.

• $t=(x^2+1{)}^2$$~t=(x^2 +1)^2$

적분구간은 $[1,3]$$~[1,3]$이지만, 치환을 해서 $[4,100]$$~[4,100]$으로 바뀜을 알 수 있다.

$\because x=1$$\because~~x=1$에서$x=3$$~x=3$까지의 적분이지만, $t=(x^2+1{)}^2$$~t=(x^2 +1)^2$으로 치환을 했고, $t$$~t$에 관한 적분을 계산할 것이기 때문에, 구간을 $t$$~t$에 대해 바꾸어 주어야 한다.

이제,$t$$~t$와 $x$$~x$의 관계시을 이용해서 $dx$$~dx$를 $dt$$~dt$로 변환하는 작업을 해야할 것이다.

양변을 각각의 문자에 대해 미분한 형태이다. 혹은 양변을 $t$$~t$에 대해 미분한 후에 $dt$$~dt$를 양변에 곱한 것으로 봐도 무방하다. (앞서 미분에서 절대로 분수는 아니지만, 분수처럼 생각해도 괜찮음을 잊지 않았다면 식을 이해하는 데에 어려움이 없을 것이다.

즉, $dt=2(x^2+1)2xdx$$~dt=2(x^2 +1) 2xdx$가 됨을 알 수 있다.

이를 이용해서 식을 변환하면

$\begin{array}{rl}{\int }_1^3\frac{x}{(x^2+1{)}^2}& ={\int }_4^{100}\frac{x}{t}dx\\ & ={\int }_4^{100}\frac{x}{t}\times \frac{1}{4x(x^2+1)}dt\\ & ={\int }_4^{100}\frac{1}{4t(x^2+1)}dt\end{array}$$\begin{align}\int_1^3 \cfrac x{(x^2 +1)^2 }&=\int_4^{100} \cfrac x {t } dx \\\ &=\int_4^{100} \cfrac x t \times \cfrac 1 {4x(x^2 +1)} dt\\\ &=\int_4^{100} \cfrac 1 {4t(x^2 +1)} dt\end{align}$

여전히 $x^2+1$$~x^2 +1$이 남아있다! 허나 이 문제의 경우는 다행인 것이 $t^{\frac{1}{2}}=x^2+1$$~ t^{\frac 1 2}=x^2 +1$임을 알 수 있다. 이를 이용하면 식은 다음으로 될 것이다. (대부분은 안 풀릴 확률이 훨씬 높다.)

$\begin{array}{rl}{\int }_4^{100}\frac{1}{4t\cdot t^{\frac{1}{2}}}dt& =\frac{1}{4}{\int }_4^{100}{t}^{-\frac{3}{2}}dt\end{array}$$\begin{align} \int_4^{100} \cfrac 1 {4t \cdot t^{\frac 1 2}} dt&=\cfrac 1 4 \int_4^{100} t^{-\frac 3 2}dt\end{align}$

 

결론

어느 쪽을 택할 것인가?

치환적분의 경우에는 이렇듯 문제가 복잡함의 극치를 달리던가...(실제 이건 복잡한 식이 전혀 아니다. 그냥 문제를 찢어버리고 싶은 충동이 일어나는 경우가 많다. 치환을 잘못 선택한 경우에 말이다.)

씁쓸하지만, 간단한 방법을 찾기 위해서는 은근히 많은 노력이 필요하다. 하지만, 일반적인 문제의 경우에는 교과서, 익힘책, 기본 문제집에 나온 정도만 다룰 줄 알면 감이 올 것이다. 그럼에도 혹시 안 풀린다면, 다른 식으로 치환하면 풀린다. 그게 고등학교 수학이다. 확실하게 답이 나오는 문제들!

수학적인 표현

$\begin{array}{r}{\int }_a^{b}f(x)dx\end{array}$$\begin{align}\int_a^b f(x)dx \end{align}$이 주어졌을 때, 이 함수가 만일, $x=g(t)$$~x=g(t)$로 표현해서 다음과 같은 형태로 바꿀 수 있다면, 치환 적분법을 사용한다.

$\begin{array}{rl}{\int }_a^{b}f(x)dx& ={\int }_{g(a)}^{g(b)}f(g(t))\cdot g^{\prime }(t)dt\end{array}$$\begin{aligned} \int_a^b f(x)dx &=\int_{g(a)}^{g(b)} f(g(t))\cdot g'(t)dt\end{aligned}$

이 수식을 보면 그냥 머리가 아플 것이지만. 그냥 적분이 안 되면, 치환을 떠올리면 됩니다. 위의 수학적인 표현을 조금 더 이해하기 쉽게(?) 써 보면,

$\begin{array}{rl}{\int }_{\alpha }^{\beta }f(g(t))g^{\prime }(t)dt& =[F(g(t)){]}_{\alpha }^{\beta }\\ & =F(g(\alpha ))-F(g(\beta ))\\ & =[F(x){]}_{g(\alpha )}^{g(\beta )}\\ & ={\int }_{g(\alpha )}^{g(\beta )}f(x)dx\end{array}$$\begin{aligned} \large\int_{\alpha}^{\beta} f(g(t))g'(t)dt &= [F(g(t))]_{\alpha}^{\beta} \\ &= F(g(\alpha))-F(g(\beta)) \\ &=[F(x)]_{g(\alpha)}^{g(\beta)}\\ &=\int_{g(\alpha)}^{g(\beta)}f(x)dx\end{aligned}$

역시 그냥 손에 익히는 것이 편하겠다. 근데 진짜 이걸 공식으로 외워서 대입시켜 푸는 아해들이 있기는 해?

삼각치환(이거 교과과정 외일껄?)

일반적인 치환 적분법과 같지만, 삼각함수를 이용하기에 따로 이름을 붙여놓은 것에 불과합니다.

다행인 점은 경우가 정해져 있습니다. 일반적으로 90% 이상 $\sqrt{}$$~\sqrt{\quad}$와 함께 나오고 특징이 확실합니다.

• 적분해야할 함수에 $\sqrt{a^2-x^2}$$~\sqrt{a^2 -x^2}$의 경우로 되어 있는 경우

$x=a\sin \theta$$x=a\sin\theta\qquad$(단,$-\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2}$$~-\cfrac {\pi} 2 \le \theta\le \cfrac {\pi} 2$)

또는

$x=a\cos \theta$$x=a\cos\theta\qquad$(단,$0\le \theta \le \pi$$~0\le \theta\le \pi$)

로 치환.

주의사항

$\theta$$\theta$의 범위 주의!

• 적분해야할 함수에 $\sqrt{a^2+x^2}$$~\sqrt{a^2 +x^2}$의 경으로 되어 있는 경우

$x=a\tan \theta$$x=a\tan\theta\qquad$(단, $-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}$$~-\cfrac {\pi} 2 \lt \theta \lt \cfrac {\pi} 2$)

로 치환.

예제 2. $\begin{array}{r}\int \frac{1}{\sqrt{(a^2-x^2{)}^3}}dx(a>0)\end{array}$$~\begin{align} \int \cfrac 1 {\sqrt{(a^2 -x^2 )^3}}dx \quad(a\gt 0)\end{align}$를 계산하시오.

i. $\sqrt{}$$~\sqrt{\quad}$안에 $a^2-x^2$$~a^2 -x^2$이 포함되어 있으므로,

$x=a\sin \theta (-\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2})$$x=a\sin\theta\quad(-\cfrac {\pi} 2 \le\theta\le\cfrac {\pi} 2)$로 치환

$\to dx=a\cos \theta d\theta$$\rightarrow~~dx = a\cos\theta d\theta$

$\begin{array}{rl}\int \frac{1}{\sqrt{(a^2-x^2{)}^3}}dx& =\int \frac{1}{\sqrt{(a^2-a^2{\sin }^2\theta {)}^3}}\\ & =\int \frac{1}{\sqrt{\{a^2(1-{\sin }^2\theta ){\}}^3}}dx\\ & =\int \frac{1}{\sqrt{(a^2{\cos }^2\theta {)}^3}}dx\\ & =\int \frac{a\cos \theta }{\sqrt{a^6{\cos }^6\theta }}d\theta \\ & =\int \frac{a\cos \theta }{a^3{\cos }^3\theta }d\theta \\ & =\frac{1}{a^2}\int \frac{1}{{\cos }^2\theta }d\theta \\ & =\frac{1}{a^2}\tan \theta +C\end{array}$$\begin{align} \int \cfrac 1 {\sqrt{(a^2 -x^2 )^3}}dx&=\int \cfrac 1 {\sqrt { (a^2 -a^2 \sin^2 \theta)^3}} \\\ &= \int\cfrac 1 {\sqrt { \{ a^2 (1-\sin^2\theta)\}^3}} dx\\\ &=\int \cfrac 1 {\sqrt{ (a^2 \cos^2\theta)^3}}dx \\\ &=\int \cfrac {a\cos\theta}{\sqrt {a^6\cos^6\theta}} d\theta \\\ &=\int \cfrac {a\cos\theta}{a^3\cos^3\theta}d\theta \\\ &= \cfrac 1 {a^2 }\int\cfrac 1 {\cos^2 \theta}d\theta \\\ &= \cfrac 1 {a^2 } \tan\theta +C\end{align}$

그리고, $x=a\sin \theta$$~x=a\sin\theta$에서

$\sqrt{a^2-x^2}=a\cos \theta \to \tan \theta =\frac{a\sin \theta }{a\cos \theta }=\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}$$\sqrt{a^2 -x^2 } = a\cos\theta\quad\rightarrow\quad \tan\theta = \cfrac {a\sin\theta}{a\cos\theta} =\cfrac x {\sqrt {a^2 -x^2 }}$

$\therefore \int \frac{1}{\sqrt{(a^2-x^2{)}^3}}dx=\frac{1}{a^2}\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}+C$$\therefore~~\int \cfrac 1 {\sqrt{(a^2 -x^2 )^3}}dx = \cfrac 1 {a^2 } \cfrac x {\sqrt {a^2 -x^2 }} +C$

예제 3. $x=a\tan \theta$$~x=a\tan\theta$를 이용하여 $\begin{array}{r}\int \frac{1}{a^2+x^2}dx\end{array}$$~\begin{align} \int \cfrac 1 {a^2 +x^2} dx\end{align}$를 $\theta$$~\theta$로 나타내시오.

i. 비록 $\sqrt{}$$~\sqrt {\quad}$가 없지만, $a^2+x^2$$~a^2 +x^2$이 있으므로,

$x=a\tan \theta -\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2}$$x=a\tan\theta\quad-\cfrac {\pi} 2 \le \theta\le \cfrac {\pi} 2$

$\to dx=\frac{a}{{\cos }^2\theta }d\theta$$\rightarrow~~dx = \cfrac a {\cos^2 \theta}d\theta$

$\begin{array}{rl}\int \frac{1}{a^2+x^2}dx& =\int \frac{1}{a^2+a^2{\tan }^2\theta }dx\\ & =\int \frac{1}{a^2(1+{\tan }^2\theta )}\times \frac{a}{{\cos }^2\theta }d\theta \Leftarrow \{\begin{array}{l}{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1\\ \leftarrow 1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }\end{array}\\ & =\frac{1}{a}\int \frac{1}{\frac{1}{{\cos }^2\theta }}\times \frac{1}{{\cos }^2\theta }d\theta \\ & =\frac{1}{a}\int d\theta \\ & =\frac{\theta }{a}+C\end{array}$$\begin{align} \int \cfrac 1 {a^2 +x^2 } dx &=\int \cfrac 1 {a^2 + a^2 \tan^2\theta} dx \\\ &= \int \cfrac 1 {a^2 (1+\tan^2\theta)} \times \cfrac a {\cos^2 \theta}d\theta\qquad\Leftarrow ~~\begin{cases} \cos^2 \theta +\sin^2\theta =1 \\\ \leftarrow ~~1+\tan^2 \theta =\cfrac 1 {\cos^2\theta}\end{cases} \\\ &= \cfrac 1 a \int \cfrac 1 { \cfrac 1 {\cos^2 \theta}} \times \cfrac 1 {\cos^2 \theta} d\theta \\\ &= \cfrac 1 a \int d\theta \\\ &= \cfrac {\theta} a +C\end{align}$

부분적분

어찌보면 가장 난해해 보일 수도 있지만, 다음의 식을 항상 생각합시다.

$f(x)g(x)$$f(x)g(x)$를 미분하자!

$(f(x)g(x))\prime =f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$$(f(x) g(x))\prime =f'(x) g(x)+f(x)g'(x)$

이제 맘에 드는 식 하나를 넘겨주자.

$f^{\prime }(x)g(x)=(f(x)g(x))\prime +f(x)g^{\prime }(x)$$f'(x)g(x)=(f(x)g(x))\prime +f(x)g'(x)$

양변을 $x$$~x$에 대해 적분하자.

$\begin{array}{r}\int f^{\prime }(x)g(x)dx=f(x)g(x)-\int f(x)g^{\prime }(x)dx\end{array}$$\begin{align}\int f'(x)g(x)dx = f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)dx\end{align}$

깔끔합니다?

조금 더 보기 편하게 정리하면,

$\begin{array}{rlrlrl}(uv)\prime & =u^{\prime }v+u{v}^{\prime }& \to & & u^{\prime }v& =(uv)\prime -u{v}^{\prime }\\ \\ \int (uv)\prime & =\int u^{\prime }v+\int u{v}^{\prime }& \to & & \int u^{\prime }v& =uv-\int u{v}^{\prime }\end{array}$$\begin{align} (uv)\prime&=u'v+uv'&\rightarrow&&u'v&=(uv)\prime -uv' \\\ \\\ \int(uv)\prime&=\int u'v +\int uv' &\rightarrow&&\int u'v &= uv -\int uv'\end{align}$

다만 여기서 어떤 함수를 $u^{\prime }$$~u'$으로 볼 것인가에 대한 질문이 남아있습니다. 일반적으로 다음의 순서를 따르면 되는 경우가 많습니다. 안될 때에는 순서를 바꿔서 해야합니다.

$1.\text{지수}2.\text{삼각함수}3.\text{다항}4.\text{로그}$$1.~\text{지수}\qquad 2.~\text{삼각함수}\qquad 3.~\text{다항}\qquad 4.~\text{로그}$

예제 4. $\begin{array}{r}\int \ln xdx\end{array}$$~\begin{align}\int \ln x dx\end{align}$를 계산하시오. (간간이 공식처럼 쓰이기도 한다. 아니 공식이던가?)

어? $\ln x$$~\ln x$뿐인데?

$1\times \ln x$$1\times \ln x$로 봐야합니다.

즉, $f^{\prime }(x)=1,g(x)=\ln x$$~f'(x)=1,~~g(x)=\ln x$로 보면,

$\begin{array}{rl}\int 1\cdot \ln xdx& =x\cdot \ln x-\int x\frac{1}{x}dx\\ & =x\cdot \ln x-x+C\end{array}$$\begin{align} \int 1 \cdot \ln xdx &=x\cdot \ln x -\int x \cfrac 1 x dx \\\ & = x\cdot \ln x -x +C\end{align}$

예제 5. $\begin{array}{r}\int x\cdot e^{x}dx\end{array}$$~\begin{align} \int x\cdot e^x dx \end{align}$를 계산하시오.

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =e^x\\ g(x)& =x\end{array}\end{array}$$\left\{\begin{align}f'(x)&=e^x \\\ g(x)&=x \end{align}\right.$로 보면,

$\begin{array}{rl}\int x\cdot e^{x}dx& =x{e}^x-\int e^{x}dx\\ & =x{e}^x-e^x+C\end{array}$$\begin{align}\int x \cdot e^x dx &= x e^x -\int e^x dx \\\ &=x e^x -e^x+C\end{align}$

예제 6. $\begin{array}{r}\int x^2\ln xdx\end{array}$$~\begin{align} \int x^2 \ln x dx\end{align}$를 계산하시오.

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =x^2\\ g(x)& =\ln x\end{array}\end{array}$$\left\{ \begin{align} f'(x)&=x^2 \\\ g(x) &=\ln x\end{align}\right.$로 보면,

$\begin{array}{rl}\int x^2\ln xdx& =\frac{1}{3}{x}^3\ln x-\frac{1}{3}\int x^3\cdot \frac{1}{x}dx\\ & =\frac{1}{3}{x}^3\ln x-\frac{1}{3}\int x^{2}dx\\ & =\frac{1}{3}{x}^3\ln x-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}{x}^3+C\\ & =\frac{1}{3}{x}^3\ln x-\frac{1}{9}{x}^3+C\end{array}$$\begin{align} \int x^2 \ln x dx &= \cfrac 1 3 x^3 \ln x -\cfrac 1 3 \int x^3 \cdot \cfrac 1 x dx \\\ &= \cfrac 1 3 x^3 \ln x -\cfrac 1 3 \int x^2 dx \\\ &=\cfrac 1 3 x^3 \ln x -\cfrac 1 3 \cdot \cfrac 1 3 x^3 +C \\\ &= \cfrac 1 3 x^3 \ln x -\cfrac 1 9 x^3+C\end{align}$

예제 7. $\begin{array}{r}\int x^2\sin xdx\end{array}$$~\begin{align} \int x^2\sin x dx \end{align}$를 구하시오.

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =\sin x\\ g^{\prime }(x)& =x^2\end{array}\end{array}$$\left\{\begin{align} f'(x)&=\sin x \\\ g'(x)&= x^2\end{align}\right.$이라 하면,

$\begin{array}{rl}\int x^2\sin xdx& =-x^2\cos x+2\underset{S}{\underset{―}{\int x\cos xdx}}\end{array}$$\begin{align} \int x^2 \sin x dx &= -x^2 \cos x +2\underset{\color{red}{S}}{\underline{\int x \cos x dx }}\end{align}$

$S$$S$를 계산하면,

$\begin{array}{rl}S& =\int x\cos xdx\\ & =x\sin x-\int \sin xdx\\ & =x\sin x+\cos x\end{array}$$\begin{align}S&= \int x\cos x dx \\\ &=x\sin x -\int \sin x dx \\\ &= x\sin x +\cos x \end{align}$

대입하면,

$\begin{array}{rl}\int x^2\sin xdx& =-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x\\ & =(2-x^2)\cos x+2x\sin x+C\end{array}$$\begin{align} \int x^2\sin x dx &= -x^2\cos x +2x\sin x +2\cos x \\\ &=(2-x^2 )\cos x +2x \sin x+C\end{align}$

이번에는 조금 어려운(?) 적분 문제를 살펴보도록 하자.

예제 8. $\begin{array}{r}\int e^x{\sin }^{2}xdx\end{array}$$~\begin{align} \int e^x \sin^2 x dx \end{align}$를 구하시오.

풀이 1.

부분적분을 이용하면,

$\begin{array}{rl}\int e^x{\sin }^{2}xdx& =e^x{\sin }^{2}x-\int e^x(2\sin x\cos x)dx\\ & =e^x{\sin }^{2}x-\underset{S_1}{\underset{―}{\int e^x\sin 2xdx}}\end{array}$$\begin{align}\int e^x \sin^2 x dx &= e^x \sin^2 x -\int e^x (2\sin x \cos x )dx \\\ &=e^x \sin^2 x -\underset{\color{red}{S_1}}{\underline{\int e^x \sin 2x dx}}\end{align}$

$\begin{array}{rl}{S}_1& =\int e^x\sin 2xdx\\ & =e^x\sin 2x-\int e^x(2\cos 2x)dx\\ & =e^x\sin 2x-2\underset{S_2}{\underset{―}{\int e^x\cos 2xdx}}\end{array}$$\begin{align}S_1&=\int e^x \sin 2x dx \\\ &=e^x \sin 2x - \int e^x (2\cos 2x)dx \\\ &=e^x \sin 2x -2\underset{\color{red}{S_2}}{\underline{\int e^x \cos 2x dx}}\end{align}$

$\begin{array}{rl}{S}_2& =\int e^x\cos 2xdx\\ & =e^x\cos 2x-\int e^x(-2\sin 2x)dx\\ & =e^x\cos 2x+2\underset{S_3}{\underset{―}{\int e^x\sin 2xdx}}\end{array}$$\begin{align}S_2 &=\int e^x \cos 2x dx \\\ &= e^x \cos 2x -\int e^x (-2\sin 2x )dx \\\ &= e^x \cos 2x +2 \underset{\color{red}{S_3}}{\underline{\int e^x \sin 2x dx}}\end{align}$

그런데, 자세히 보니, $S_3=S_1$$~S_3 =S_1$이네? 이를 다시 써 보면,

$\begin{array}{rl}{S}_1& =e^x\sin 2x-2(e^x\cos 2x+2S_1))\\ & =e^x\sin 2x-2e^x\cos 2x-4S_1\\ & ⋮\end{array}$$\begin{align}S_1&=e^x \sin 2x -2\left( e^x \cos 2x +2 S_1)\right) \\\ &= e^x \sin 2x -2e^x \cos 2x -4 S_1 \\\ &\qquad\vdots\end{align}$

$S_1=\frac{1}{5}{e}^x(\sin 2x-2\cos 2x)$$S_1 =\cfrac 1 5 e^x(\sin 2x -2\cos 2x)$

$\therefore \begin{array}{r}\int e^x{\sin }^{2}xdx=e^x{\sin }^{2}x-\frac{1}{5}{e}^x(\sin 2x-2\cos 2x)+C\end{array}$$\therefore~~\begin{aligned} \int e^x\sin^2 x dx = e^x \sin^2 x -\cfrac 1 5 e^x (\sin 2x -2\cos 2x )+C\end{aligned}$

풀이 2.

$\begin{array}{r}\int e^x{\sin }^{2}xdx\end{array}$$\begin{align}\int e^x \sin^2 x dx\end{align}$에서,

$\begin{array}{rl}\cos 2x& ={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\\ & ={\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x-2{\sin }^{2}x\\ & =1-2{\sin }^{2}x\\ & ⋮\\ {\sin }^{2}x& =\frac{1-\cos 2x}{2}\end{array}$$\begin{align}\cos 2x &=\cos^2 x -\sin^2 x \\\ &=\cos^2 x +\sin^2 x -2\sin^2 x \\\ &= 1-2\sin^2 x \\\ &\qquad\vdots\\\ \sin^2 x &= \cfrac {1-\cos 2x } 2\end{align}$

$\begin{array}{rl}\int e^x{\sin }^{2}xdx& =\frac{1}{2}\int e^x(1-\cos 2x)dx\\ & =\frac{1}{2}{e}^x-\frac{1}{2}\underset{S_1}{\underset{―}{\int e^x\cos 2xdx}}\end{array}$$\begin{align}\int e^x \sin^2 x dx &=\cfrac 1 2 \int e^x (1-\cos 2x )dx \\\ &= \cfrac 1 2 e^x -\cfrac 1 2 \underset{\color{red}{S_1}}{\underline{\int e^x \cos 2x dx}} \end{align}$

$\begin{array}{rl}{S}_1& =\int e^x\cos 2xdx\\ & =e^x\cos 2x+2\underset{S_2}{\underset{―}{\int e^x\sin 2xdx}}\end{array}$$\begin{align}S_1&= \int e^x \cos 2x dx \\\ &=e^x \cos 2x +2\underset{\color{red}{S_2}}{\underline{\int e^x \sin 2x dx}} \end{align}$

$\begin{array}{rl}{S}_2& =\int e^x\sin 2xdx\\ & =e^x\sin 2x-2\underset{S_1}{\underset{―}{\int e^x\cos 2xdx}}\end{array}$$\begin{align}S_2 &= \int e^x \sin 2x dx \\\ &= e^x \sin 2x -2\underset{\color{red}{S_1} }{\underline{\int e^x \cos 2x dx}}\end{align}$

$\begin{array}{rl}{S}_1& =e^x\cos 2x+2(e^x\sin 2x-2S_1)\\ & ⋮\\ S_1& =\frac{1}{5}{e}^x(\cos 2x+2\sin 2x)\end{array}$$\begin{align} S_1 &= e^x \cos 2x +2(e^x \sin 2x -2 S_1 ) \\\ &\qquad\qquad\vdots \\\ S_1 &=\cfrac 1 5 e^x(\cos 2x +2\sin 2x)\end{align}$

$\begin{array}{rl}\therefore \int e^x{\sin }^{2}xdx& =\frac{1}{2}{e}^x-\frac{1}{10}{e}^x(\cos 2x+2\sin 2x)+C\\ & =-\frac{1}{10}{e}^x(\cos 2x+2\sin 2x-5)+C\end{array}$$\begin{align}\therefore~~ \int e^x \sin^2 x dx &= \cfrac 1 2 e^x -\cfrac 1 {10} e^x \left( \cos 2x +2 \sin 2x \right) +C \\\ &= -\cfrac 1 {10} e^x (\cos 2x +2 \sin 2x -5)+C \end{align}$

같은 식의 적분값이 마치 전혀 다른 식으로 보이지만, 삼각함수를 이용하면 두 식이 같음을 알 수 있다. (증명은 내 몫 직접 해보시던가...)

정리

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{rl}& \bullet 치환적분\\ & \bullet 삼각치환\\ & \bullet 부분적분법\end{array}\end{array}$$\left\{ \begin{align} &\bullet ~~치환적분\\\ &\bullet~~삼각치환 \\\ &\bullet~~부분적분법\end{align}\right.\qquad$

적분 계산이 막힐 때에는 위의 순서대로 떠올려 주자. 문제에서 특정 조건이 따로 있지 않은 한, 분명 어딘가에서 얻어 걸린다. (보통은 부분적분이긴 하지.)

주어진 적분 문제를 풀기위한 방법일 뿐이지 절대 주가 되는 것은 아닙니다.