06. 적분이란? (수학II)

I. 적분이란?

미적분에 대한 공포심을 키워오면서 그래도 적분을 하면 넓이를 구할 수 있다.라는 것은 이미 배우기 전부터 들어봤을 것이다. 뭐 실제대로 그런 개념이기도하고.

• 함수가 주어졌을 때, 넓이를 구해보자.

  

  위의 그림처럼 $y=f(x)$$y=f(x)$와 $x=a,x=b$$x=a,~x=b$그리고 $x$$x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구해보자.

  그런데, 우리는 아직 이걸 구할 방법을 알고 있지 못하다. 이럴 때는? 알고 있는 사실들을 나열해보고 그 중에서 활용할 수 있는 것을 가져다가 이용하는 것이다.

   

  자 그럼 넓이에 대해서 우리가 알고 있는 사실들을 정리해보자.

  $S=lw$$S=lw$	$S=\frac{1}{2}bh$$S=\cfrac 12 bh$	$S=\sum _{n=1}^4{A}_n$$S=\sum\limits_{n=1}^4 A_n$

  이 들 중에 주어진 함수의 넓이를 구하기 위해 이용할 수 있는 것은 무엇일까?

  뭐 물론 다 가능은 하지만, 그래도 계산을 가장 적게 할 수 있는 방법말이다.

  

  이런식으로 삼각형으로 나누어서? (뭐 못 할 것 아니지만 하고 싶어?)

• 바로 직사각형으로 나누어서 최대한 $y=f(x)$$y=f(x)$를 이용하는 형태로 접근하는 게 그나마 할만하지 않을까?

  그럼 높이는 $f(x)$$f(x)$가 된다고 치면, 가로의 길이는? 아무래도 같은 간격을 가지고 있는 것이 그나마 계산이 좀 더 쉽지 않을까?

  $S_{out}$$S_{out}$	$S_{in}$$S_{in}$

  뭐 정확한 넓이는 아니지만, 이 두 넓이는 실제 넓이 $S$$S$의 근사값은 될 것이다.

  그리고 이 간격을 더 작게 나눌수록 $S$$S$에 점점 가까워지며 무한히 나누면 $S$$S$로 수렴할 것이다!

  그럼 계산을 해보자. (물론 이 계산과정은 교과과정은 아니긴 하다. 하지만 이해하는 데 무리가 없을 껄? 이 것 때문에 수열의 극한을 수학II 과정에서 빼는 걸 상당히 반대를 했지...솔직히 지금도 이해가 안가...)

  1. 닫힌구간 $[a,b]$$[a,~b]$를 일정한 간격으로 $n$$n$등분하자.

     $x_0=a,x_n=b$$x_0=a,~x_n=b$라 하면, $x_k=a+\frac{b-a}{n}k$$x_k=a+\cfrac {b-a}n k$인 등차수열로 표현이 가능하다.

  2. $k$$k$번째 사각형의 넓이를 $\mathrm{\Delta }{S}_k$$\Delta S_k$라 하면,

     $\mathrm{\Delta }{S}_k=\frac{b-a}{n}\times f(x_k)=\frac{b-a}{n}f(\frac{b-a}{n})$$\Delta S_k=\cfrac {b-a}n \times f(x_k)=\cfrac {b-a}n f\big(\cfrac{b-a}n\big)$

  3. 그럼 이제 $S$$S$의 근사값이 $S_{out}$$S_{out}$과 $S_{in}$$S_{in}$을 표현할 수 있다.

     $\begin{array}{c}\{\begin{array}{rl}{S}_{\text{in}}& =\sum _{k=0}^{n-1}\mathrm{\Delta }{S}_k=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{b-a}{n}f(x_k)=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{b-a}{n}f(a+\frac{b-a}{n}k)\\ \\ S_{\text{out}}& =\sum _{k=1}^n\mathrm{\Delta }{S}_k=\sum _{k=1}^n\frac{b-a}{n}f(x_k)=\sum _{k=1}^n\frac{b-a}{n}f(a+\frac{b-a}{n}k)\end{array}\end{array}$$\left\{\begin{align} S_{\text{in}}&=\sum\limits_{k=0}^{n-1} \Delta S_k=\sum\limits_{k=0}^{n-1} \cfrac {b-a} n f(x_k)=\sum\limits_{k=0}^{n-1} \cfrac{b-a}n f\left( a+ \cfrac {b-a} n k\right)\\\ \\\ S_{\text{out}}&=\sum\limits_{k=1}^{n} \Delta S_k=\sum\limits_{k=1}^{n} \cfrac {b-a} n f(x_k)=\sum\limits_{k=1}^{n} \cfrac{b-a}n f\left( a+ \cfrac {b-a} n k\right) \end{align}\right.$

  4. 자 이제 그럼 근사값을 이용해서 부등식으로 표현해보면,

     $\{\begin{array}{l}{S}_{in}\le S\le S_{out}\\ S_{out}\le S\le S_{in}\end{array}$$\begin{cases}S_{in}\le S\le S_{out} \\S_{out} \le S\le S_{in} \end{cases} \quad$인 두 가지 경우로 표현할 수 있을 것이다. 함수의 형태에 따라서.

  5. 그럼 여기서 간격을 작게 ($n$$n$의 값을 크게) 할 수록 오차는 줄어들 것이고, $n\to \mathrm{\infty }$$n\to \infty$이면 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_{in}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_{out}=S$$\lim\limits_{n\to \infty}S_{in}=\lim\limits_{n\to\infty}S_{out} =S$로 수렴할 것이다.

이 과정을 매번 반복하기 힘드니까, $\begin{array}{r}{\int }_a^{b}f(x)dx=S\end{array}$$\begin{aligned}\int_a^b f(x)dx=S \end{aligned}$라는 기호로 바꿔서 쓰는 것 뿐이다.

이 기호를 바꾸는 것은 미적분에서 배우는 것이니까 그냥 무시하고 그냥 아... 적분이 이런식으로 만들어진 것이구나~라고 이해하면 된다.

II. 미분과 적분과의 관계는?

그럼 $\begin{array}{r}{\int }_a^{b}f(x)dx\end{array}$$\begin{aligned}\int_a^bf(x)dx \end{aligned}$의 계산은 어떻게 할까? 그냥 표현이 저렇게 바뀌는 것이고, 지금까지의 방법으로는 그냥 수열로 접근해서 무한급수를 푸는 방법 밖에 없는데?

 

이 그래프에서 $\mathrm{\Delta }{S}_k$$\Delta S_k$를 생각해보자.

$\{\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }{S}_{in}\le \mathrm{\Delta }S\le \mathrm{\Delta }{S}_{out}\\ \mathrm{\Delta }{S}_{out}\le \mathrm{\Delta }S\le \mathrm{\Delta }{S}_{in}\end{array}$$\begin{cases}\Delta S_{in}\le \Delta S\le \Delta S_{out} \\ \Delta S_{out} \le \Delta S\le \Delta S_{in} \end{cases}$ 이 성립할 것이고, $\{\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }{S}_{in}=f(x_{in})(x_{k+1}-x_k)\\ \mathrm{\Delta }{S}_{out}=f(x_{out})(x_{k+1}-x_k)\end{array}$$\begin{cases} \Delta S_{in}=f(x_{in})(x_{k+1}-x_k)\\ \Delta S_{out}=f(x_{out})(x_{k+1}-x_k)\end{cases}$ 로 표현할 수 있다.

 

뭐 $n\to \mathrm{\infty }$$n\to\infty$로 보내면 $S_{in}=S_{out}=S$$S_{in}=S_{out}=S$로 수렴할 것이니까. 그냥 부등식 하나에 대해서만 생각을 하도록 하자.

 

$\mathrm{\Delta }{S}_{in},\mathrm{\Delta }{S}_{out}$$\Delta S_{in},~\Delta S_{out}$을 부등식에 대입하면,

$f(x_{in})(x_{k+1}-x_k)\le \mathrm{\Delta }S\le f(x_{out})(x_{k+1}-x_k)$$f(x_{in} )(x_{k+1}-x_k)\le \Delta S \le f(x_{out})(x_{k+1}-x_k)$

이거 어디서 많이 보던 식 같지 않나? 양변을 $(x_{k+1}-x_k)$$(x_{k+1}-x_k)$로 나누면,

$f(x_{in})\le \frac{\mathrm{\Delta }S}{x_{k+1}-x_k}\le f(x_{out})$$f(x_{in})\le \cfrac {\Delta S}{x_{k+1}-x_k} \le f(x_{out})$

$n\to \mathrm{\infty }$$n\to \infty$를 하면? $\mathrm{\Delta }S=S_{k+1}-S_k$$\Delta S=S_{k+1}-S_{k}$를 표현한 것이니까 어랏?

$f(x)\le \frac{d}{dx}S(x)\le f(x)$$f(x)\le \cfrac d{dx}S(x)\le f(x)$

어랏?

$\frac{d}{dx}S(x)=f(x)$$\cfrac d{dx}S(x)=f(x)$

적분한 식을 미분하면 $f(x)$$f(x)$가 된다!

즉, 적분은 미분의 역연산이다!

그래서, $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}\begin{array}{r}\int n{x}^{n-1}dx=x^n+C\end{array}$$(x^n)'=nx^{n-1}\quad \begin{aligned} \int nx^{n-1} dx=x^n +C\end{aligned}$가 되는 것이다!

그럼 굳이 수열로 바꿔서 무한급수의 계산을 안 하고 바로 넘어갈 수 있는 경로가 생긴 것이다!

III. 정적분

$S(a)=C(C$$S(a)=C\quad(~C$는 상수$)$$)$로 시작하고, $x$$~x$에 있어서 색칠한 부분의 넓이가 $S(x)$$~S(x)$이다. 다시 말하면, $f(x),x=a,x=b,x$$~f(x),~~x=a,~~x=b,~~x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $S(b)-S(a)$$~S(b)-S(a)$로 표현이 가능한 것이다!

즉, $\begin{array}{r}{\int }_a^{b}f(x)dx=S(b)-S(a)\end{array}$$\begin{align}~\int_a^b f(x)dx =S(b)-S(a)\end{align}$로 계산을 할 수 있다는 것이다.