05. 함수의 극한과 미분

정말 여기서는 그냥 개념을 자기 것으로 만들지 않으면 방법이 없다.

I. 함수의 연속

• $\underset{x\to a+}{lim}f(x)=\underset{x\to a-}{lim}f(x)$$\lim\limits_{x\to a+}f(x)=\lim\limits_{ x\to a-}f(x)$일 때 $x=a$$x=a$에서 극한값이 존재

• $\underset{x\to a+}{lim}f(x)=\underset{x\to a-}{lim}f(x)=f(a)$$\lim\limits_{x\to a+}f(x)=\lim\limits_{ x\to a-}f(x)=f(a)$일 때, $x=a$$x=a$에서 연속

• $f(x)\le h(x)\le g(x)$$f(x)\le h(x)\le g(x)$가 항상 성립하고, $\underset{x\to a}{lim}f(x)=\underset{x\to a}{lim}g(x)=\alpha$$\lim\limits_{ x\to a}f(x)=\lim\limits_{ x\to a}g(x)=\alpha$이면 $\underset{x\to a}{lim}h(x)=\alpha$$\lim\limits_{x\to a}h(x)=\alpha$이다.

• 사잇값 정리

  $f(x)$$f(x)$가 닫힌 구간 $[a,b]$$[a,~b]$에서 연속이고 $f(a)\ne f(b)$$f(a)\neq f(b)$일 때, $f(a)<k<f(b)$$f(a)<k<f(b)$ 또는 $f(b)<k<f(a)$$f(b)<k<f(a)$를 만족하는 임의의 값 $k$$k$에 대하여 $f(c)=k$$f(c)=k$를 만족하는 $c$$c$가 열린구간 $(a,b)$$(a,~b)$에 반드시 적어도 하나 이상 존재한다.

II. 미분이란?

• $f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}=\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$f'(a)=\lim\limits_{h\to 0}\cfrac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}=\lim\limits_{x\to a}\cfrac {f(x)-f(a)}{x-a}$

• 미분계수의 의미 : 접선의 기울기

• 미분가능성

  간단히 말해서

  미분가능하면,

  연속이다.

  아..요즘은 간미연이 누군지 모르나?

  미분가능$⟶$$\longrightarrow$연속은 항상 성립하지만, 연속$⟶$$\longrightarrow$미분가능은 항상 성립하는 건 아니다.

III. 미분의 활용

• 접선의 방정식

• 함수의 증가와 감소 $⟶$$\quad \longrightarrow \quad$ 그래프를 그릴 수 있다!

• 롤의 정리

  $y=f(x)$$y=f(x)$가 구간 $[a,b]$$[a,~b]$에서 연속이고 구간 $(a,b)$$(a,~b)$에서 미분가능일 때, $f(a)=f(b)$$f(a)=f(b)$이면 $f^{\prime }(c)=0$$f'(c)=0$인 $c$$c$가 $a<c<b$$a<c<b$에 반드시 하나 이상 존재한다.

• 평균값 정리

  $y=f(x)$$y=f(x)$가 구간 $[a,b]$$[a,~b]$에서 연속이고 구간 $(a,b)$$(a,~b)$에서 미분가능이면, $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c)$$\cfrac {f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$를 만족하는 $c$$c$가 $a<c<b$$a<c<b$에서 반드시 하나 이상 존재한다.

가장 중요한 것은 그래프를 그려서 주어진 문제를 해결하는 것이다!