04. 수열의 귀납적 정의 01

이길 확률이 $a$$~a$인 게임이 있다. 이 게임을 $n$$~n$회 해서 한 번도 연승하지 않고 $n$$~n$회째에 질 확률을 $a_n$$~a_n$이라 하고 $n$$~n$회째에 이길 확률을 $b_n$$~b_n$이라 하자. 이 때, $a_{n+1}$$~a_{n+1}$과 $b_{n+1}$$~b_{n+1}$을 $a_n,b_n$$~a_n,~~b_n$을 이용해 나타내시오.

이 문제를 일반항을 이용해 구하면...

$\begin{array}{rlrl}{a}_1& =1-a& b_1& =a\\ a_2& =(1-a{)}^2+a(1-a)& b_2& =(1-a)a\\ a_3& =(1-a{)}^3+a(1-a{)}^2+(1-a)a(1-a)& b_3& =(1-a{)}^{2}a+a(1-a)a\\ & ⋮& & ⋮\end{array}$$\begin{align}a_1 &= 1-a&b_1 &=a \\\ a_2 &= (1-a)^2 +a(1-a)&b_2&=(1-a)a\\\ a_3 &=(1-a)^3 +a(1-a)^2 +(1-a)a(1-a)& b_3&=(1-a)^2 a+a(1-a)a \\\ &~~~~ ~~~~ ~~~~\vdots &&~~~~ ~~~~ ~~~~\vdots\end{align}$

우와 집어 던지자!

이런 식이 아니라 사건의 속성으로 접근을 해보자.

이기는 경우를 $W$$W$, 지는 경우는 $L$$L$이라 하면,

$\begin{array}{cccccccccccccc}{a}_1& & & & & L& & & b_1& & & & & W\\ a_2& & & & L& L& & & b_2& & & & L& W\\ & & & & W& L& & & & & & & & \\ a_3& & & L& L& L& & & b_3& & & L& L& W\\ & & & W& L& L& & & & & & W& L& W\\ & & & L& W& L& & & & & & & & \\ a_4& & L& L& L& L& & & b_4& & L& L& L& W\\ & & W& L& L& L& & & & & W& L& L& W\\ & & L& W& L& L& & & & & L& W& L& W\\ & & L& L& W& L& & & & & & & & \\ & & W& L& W& L& & & & & & & & \end{array}$$\begin{matrix} a_{ 1 } & & & & & L & & & b_{ 1 } & & & & & W \\ \hline a_{ 2 } & & & & L & L & & & b_{ 2 } & & & & L & W \\\ & & & & W & L & & & & & & & & \\ \hline a_{ 3 } & & & L & L & L & & & b_{ 3 } & & & L & L & W \\ & & & W & L & L & & & & & & W & L & W \\ & & & L & W & L & & & & & & & & \\ \hline a_{ 4 } & & L & L & L & L & & & b_{ 4 } & & L & L & L & W \\ & & W & L & L & L & & & & & W & L & L & W \\ & & L & W & L & L & & & & & L & W & L & W \\ & & L & L & W & L & & & & & & & & \\ & & W & L & W & L & & & & & & & & \end{matrix}$

다만 이런 식으로 접근할 때 주의할 사항은 일정한 규칙을 주고 나열해야 한다.

(이 경우는 $L$$L$을 기준으로 작성)

그리고 이 문제의 경우 수열의 마지막이 $W,L$$W,~L$이 중요하므로 보기 좋게 선을 그어보자.

$\begin{array}{cccccccccccccc}{a}_1& & & & & L& & & b_1& & & & & W\\ a_2& & & & L& L& & & b_2& & & & L& W\\ & & & & W& L& & & & & & & & \\ a_3& & & L& L& L& & & b_3& & & L& L& W\\ & & & W& L& L& & & & & & W& L& W\\ & & & L& W& L& & & & & & & & \\ a_4& & L& L& L& L& & & b_4& & L& L& L& W\\ & & W& L& L& L& & & & & W& L& L& W\\ & & L& W& L& L& & & & & L& W& L& W\\ & & L& L& W& L& & & & & & & & \\ & & W& L& W& L& & & & & & & & \end{array}$$\begin{array}{ccccc|cccccccc|c} a_{ 1 } & & & & & L & & & b_{ 1 } & & & & & W \\ \hline a_{ 2 } & & & & L & L & & & b_{ 2 } & & & & L & W \\ & & & & W & L & & & & & & & & \\ \hline a_{ 3 } & & & L & L & L & & & b_{ 3 } & & & L & L & W \\ & & & W & L & L & & & & & & W & L & W \\ & & & L & W & L & & & & & & & & \\ \hline a_{ 4 } & & L & L & L & L & & & b_{ 4 } & & L & L & L & W \\ & & W & L & L & L & & & & & W & L & L & W \\ & & L & W & L & L & & & & & L & W & L & W \\ & & L & L & W & L & & & & & & & & \\ & & W & L & W & L & & & & & & & & \end{array}$

이제 연결고리를 찾아보자.

$\begin{array}{cccccccccccccc}{a}_1& & & & & L& & & b_1& & & & & W\\ a_2& & & & L& L& & & b_2& & & & L& W\\ & & & & W& L& & & & & & & & \\ a_3& & & L& L& L& & & b_3& & & L& L& W\\ & & & W& L& L& & & & & & W& L& W\\ & & & L& W& L& & & & & & & & \\ a_4& & L& L& L& L& & & b_4& & L& L& L& W\\ & & W& L& L& L& & & & & W& L& L& W\\ & & L& W& L& L& & & & & L& W& L& W\\ & & L& L& W& L& & & & & & & & \\ & & W& L& W& L& & & & & & & & \end{array}$$\begin{array}{ccccc|cccccccc|c} a_{ 1 } & & & & & \color{red}{L} & & & b_{ 1 } & & & & & W \\ \hline a_{ 2 } & & & & \color{lime}{L} & \color{lime}{L} & & & b_{ 2 } & & & & \color{red}{L} & W \\ & & & & \color{lime}{W} & \color{lime}{L} & & & & & & & & \\ \hline a_{ 3 } & & & \color{fuchsia}{L} & \color{fuchsia}{L} & \color{fuchsia}{L} & & & b_{ 3 } & & & \color{lime}{L} & \color{lime}{L} & W \\ & & & \color{fuchsia}{W} & \color{fuchsia}{L} & \color{fuchsia}{L} & & & & & & \color{lime}{W} & \color{lime}{L} & W \\ & & & \color{fuchsia}{L} & \color{fuchsia}{W} & \color{fuchsia}{L} & & & & & & & & \\ \hline a_{ 4 } & & L & L & L & L & & & b_{ 4 } & & \color{fuchsia}{L} & \color{fuchsia}{L} & \color{fuchsia}{L} & W \\ & & W & L & L & L & & & & & \color{fuchsia}{W} & \color{fuchsia}{L} & \color{fuchsia}{L} & W \\ & & L & W & L & L & & & & & \color{fuchsia}{L} & \color{fuchsia}{W} & \color{fuchsia}{L} & W \\ & & L & L & W & L & & & & & & & & \\ & & W & L & W & L & & & & & & & & \end{array}$

숨은 그림 찾기를 하자!

$\{\begin{array}{l}{b}_{n+1}=a\cdot a_n\\ a_{n+1}=(1-a)\cdot a_n+(1-a)\cdot b_n\end{array}$$\begin{cases}b_{n+1}=a\cdot a_n\\ a_{n+1}=(1-a) \cdot a_n +(1-a)\cdot b_n \end{cases}$

그리고, 이 식을 보고 생각해보자.

• 연승하지 않고 $n+1$$n+1$ 회째에 질 확률은 $n$$n$회째에 진 후에 $n+1$$n+1$회 째에 지는 경우와 $n$$n$회째에 이긴 후에 $n+1$$n+1$ 회 째 지는 경우
• 연승하지 않고 $n+1$$n+1$회째에 이길 확률은 $n$$n$회째에 진 후에 $n+1$$n+1$회 째에 이기는 경우

수열의 귀납정 정의를 이용하는 방법

문제에서 제시해준 정의에 따라 수열을 다시 정리하면,

• $a_n$$a_n$ : 연승하지 않고 $n$$n$ 회째 질 확률
• $b_n$$b_n$ : 연승하지 않고 $n$$n$ 회째 이길 확률

 

$a_{n+1}$$a_{n+1}$의 수열의 귀납정 정의를 이용하여 관계식을 세우면,

$\begin{array}{cc}(n+1)\text{회 째}& n\text{회 째}\\ \underset{a_{n+1}}{L}& \leftarrow \underset{a_n}{L}\\ & \nwarrow \underset{b_n}{W}\end{array}$$\begin{array}{c|c} (n+1)\text{회 째}~~ & n\text{회 째}~~ \\ \hline \large \underset{a_{n+1}}{L} & \large \leftarrow \underset{a_n}{L} \\ & \large \nwarrow\underset{b_n}{W}\end{array}$

$a_{n+1}=a_n\times (1-a)+b_n\times (1-a)$$a_{n+1}=a_n\times (1-a)+b_n\times (1-a)$

 

$b_{n+1}$$b_{n+1}$의 수열의 귀납정 정의를 이용하여 관계식을 세우면,

$\begin{array}{cc}(n+1)\text{회 째}& n\text{회 째}\\ \underset{b_{n+1}}{W}& \leftarrow \underset{a_n}{L}\end{array}$$\begin{array}{c|c} (n+1)\text{회 째}~~ & n\text{회 째}~~ \\ \hline \large \underset{b_{n+1}}{W} & \large \leftarrow \underset{a_n}{L} \end{array}$

$b_{n+1}=a_n\times a$$b_{n+1}=a_n\times a$