2021년 04월 기하 30번

30. 그림과 같이 두 초점이 $F(c,0),F^{\prime }(-c,0)(c>0)$$F(c,~0),~F'(-c,~0)~(c>0)$인 타원 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{7}=1$$\cfrac{x^2}{16}+\cfrac{y^2}7=1$ 위의 점 $P$$P$에 대하여 직선 $FP$$FP$와 직선 $F^{\prime }P$$F'P$에 동시에 저하고 중심이 선분 $F^{\prime }F$$F'F$ 위에 있는 원 $\mathbb{C}$$\C$가 있다. 원 $\mathbb{C}$$\C$의 중심을 $C$$C$, 직선 $F^{\prime }P$$F'P$가 원 $\mathbb{C}$$\C$와 만나는 점을 $Q$$Q$라 할 때, $2\overline{PQ}=\overline{PF}$$2\overline{PQ}=\overline{PF}$이다. $24\times \overline{CP}$$24\times \overline{CP}$의 값을 구하시오. (단, $P$$P$는 제$1$$1$사분면 위의 점이다.)

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i. 정리

• 보조선은 당연히 원의 중심 $C$$C$를 기준으로 생각을 해봐야 할 것이다.

• 점 $C$$C$에서 $\overline{PF}$$\overline{PF}$에 내린 수선의 발을 $R$$R$이라 하자.

  • 원의 성질을 이용하면, $\overline{PQ}=\overline{PR}$$\overline{PQ}=\overline{PR}$
  • $\overline{PC}$$\overline{PC}$를 그으면, $\mathrm{\angle }PQC=\mathrm{\angle }PRC=\frac{\pi }{2}$$\angle PQC=\angle PRC=\cfrac{\pi}2$
  • 어? $\mathrm{△}PQC\equiv \mathrm{△}PCR(\because RHS)$$\triangle PQC\equiv \triangle PCR\quad (\because ~RHS)$

ii. 정보의 활용

• $c=\sqrt{16-7}=3$$c=\sqrt{16-7}=3$

• $\overline{PQ}=\alpha$$\overline{PQ}=\alpha$라 하면, $\overline{PR}=\alpha$$\overline{PR}=\alpha$

• $2\overline{PQ}=\overline{PF}$$2\overline{PQ}=\overline{PF}$를 이용하면, $\overline{RF}=\alpha$$\overline{RF}=\alpha$

  • 어? $\mathrm{△}RPC\equiv \mathrm{△}RFC(\because SAS)$$\triangle RPC\equiv \triangle RFC \quad(\because~SAS)$
  • $\mathrm{\angle }QPC=\mathrm{\angle }CPR=\mathrm{\angle }CFR$$\angle QPC=\angle CPR=\angle CFR$

• 타원의 정의를 이용하면, $\overline{P{F}^{\prime }}+\overline{PF}=8⟶\overline{Q{F}^{\prime }}=8-3\alpha$$\overline{PF'}+\overline{PF}=8\quad\longrightarrow\quad \overline{QF'}=8-3\alpha$

• $\overline{PC}=\overline{CF}=l$$\overline{PC}=\overline{CF}=l$이라 하면, $\overline{F^{\prime }C}=6-l$$\overline{F'C}=6-l$

• 원의 반지름을 $r$$r$이라 하자.

$\alpha ,l$$\alpha,~l$에 관한 식을 $2$$2$개만 만들어 내면 문제를 풀 수 있다!

관계식을 뽑아 보자....

• $r^2+{\alpha }^2=l^2$$r^2+\alpha^2=l^2$
• $(8-3\alpha {)}^2+r^2=(6-l{)}^2$$(8-3\alpha)^2 +r^2 =(6-l)^2$

미지수가 $3$$3$개인데 식이 하나 모자란다. 빼먹은 조건이 없는 지 확인하자. 오우...삼각형의 각의 이등분선

• $\overline{P{F}^{\prime }}:\overline{PF}=\overline{F^{\prime }C}:\overline{CF}$$\overline{PF'}:\overline{PF}=\overline{F'C}:\overline{CF}$

  $8-2\alpha :2\alpha =6-l:l$$8-2\alpha:2\alpha =6-l:l$

  $l=\frac{3}{2}\alpha <3(\overline{CF}<\overline{OF}=3)$$l=\cfrac 32\alpha <3\quad (\overline{CF}<\overline{OF}=3)$

  $\alpha <2$$\alpha<2$

iii. 계산

관계식을 이용하여 문자를 줄여나가자.

${\alpha }^2+r^2=l^2⟶r=\frac{\sqrt{5}}{2}\alpha$$\alpha^2 +r^2 =l^2\quad \longrightarrow \quad r=\cfrac {\sqrt 5}2\alpha$

이를 다음 식에 대입하면,

$(8-3\alpha {)}^2+\frac{5}{4}{\alpha }^2=(6-\frac{3}{2}\alpha {)}^2$$(8-3\alpha)^2+\cfrac 54\alpha^2 =(6-\cfrac 32\alpha)^2$

• $8{\alpha }^2-30\alpha +28=0$$8\alpha^2 -30\alpha +28=0$

  $(4\alpha -7)(\alpha -2)=0$$(4\alpha -7)(\alpha -2)=0$

  $\therefore \alpha =\frac{7}{4}(\because \alpha <2)$$\therefore~\alpha=\cfrac 74\quad (\because ~\alpha <2)$

$l=\frac{3}{2}\times \frac{7}{4}=\frac{21}{8}$$l=\cfrac 32 \times \cfrac 74=\cfrac{21}8$

$\therefore 24\times \overline{CP}=63$$\therefore~24\times \overline{CP}=63$