2021년 03월 기하 30번

30. 그림과 같이 두 초점이 $F(c,0),F^{\prime }(-c,0)(c>0)$$F(c,~0),~F'(-c,~0)~(c>0)$이고 장축의 길이가 $12$$12$인 타원이 있다. 점 $F$$F$가 초점이고 직선 $x=-k(k>0)$$x=-k~(k>0)$이 준선인 포물선이 타원과 제$2$$2$사분면의 점 $P$$P$에서 만난다. 점 $P$$P$에서 직선 $x=-k$$x=-k$에 내린 수선의 발을 $Q$$Q$라 할 때, 두 점 $P,Q$$P,~Q$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\cos (\mathrm{\angle }{F}^{\prime }FP)=\frac{7}{8}$$\cos \big(\angle F'FP\big)=\cfrac 78$

(나) $\overline{FP}-\overline{F^{\prime }Q}=\overline{PQ}-\overline{F{F}^{\prime }}$$\overline{FP}-\overline{F'Q} =\overline{PQ}-\overline{FF'}$

$c+k$$c+k$의 값을 구하시오.

---

i. 정리

• $\overline{PQ}=\overline{PF}$$\overline{PQ}=\overline{PF}$
• $\cos \mathrm{\angle }{F}^{\prime }FP=\frac{7}{8}$$\cos \angle F'FP=\cfrac 78$
• $\overline{FP}-\overline{F^{\prime }Q}=\overline{PQ}-\overline{F{F}^{\prime }}$$\overline{FP}-\overline{F'Q} =\overline{PQ}-\overline{FF'}$

포물선의 정의를 이용하면, ($\overline{PQ}=\overline{PF}$$\overline{PQ}=\overline{PF}$)

$\overline{F^{\prime }Q}=\overline{F^{\prime }F}$$\overline{F'Q}=\overline{F'F}$

어? 혹시 $◻QPF{F}^{\prime }$$\square QPFF'$이 마름모는 아니겠지??

ii. 정보 처리

아무튼 그림에 정보를 표시하자. $\cos \mathrm{\angle }{F}^{\prime }FP=\frac{7}{8}$$\cos \angle F'FP=\cfrac 78$을 활용하기 위해 $8\alpha ,7\alpha$$8\alpha, 7\alpha$를 이용함.

• 점 $P$$P$ 에서 $x$$x$ 축에 내린 수선의 발 $H$$H$
• $\overline{PF}=\overline{PQ}=8\alpha ,\overline{F^{\prime }H}=2c-7\alpha$$\overline{PF}=\overline{PQ}=8\alpha,~\overline{F'H}=2c-7\alpha$
• $\overline{PH}=\sqrt{15}\alpha (\because \mathrm{△}PHF)$$\overline{PH}=\sqrt {15}\alpha~(\because ~\triangle PHF)$
• 그림에는 표현이 안 되어 있다... $F^{\prime }$$F'$에서 $\overline{PQ}$$\overline{PQ}$에 내린 수선의 발을 $I$$I$라 하면,

$\begin{array}{rl}\overline{QI}& =\overline{PQ}-\overline{IP}\\ & =\overline{PQ}-\overline{F^{\prime }H}\\ & =8\alpha -(2c-7\alpha )\\ & =15\alpha -2c\end{array}$$\begin{aligned}\overline{QI}&= \overline{PQ}-\overline{IP}\\ &= \overline{PQ}-\overline{F'H}\\ &= 8\alpha -(2c-7\alpha)\\ &= 15\alpha -2c \end{aligned}$

$\mathrm{△}QI{F}^{\prime }$$\triangle QIF'$에 대해 피타고라스 정리를 써서 $\alpha$$\alpha$ 와 $c$$c$의 관계를 알아내자.

$\begin{array}{rl}4c^2& =(15\alpha -2c{)}^2+15{\alpha }^2\end{array}$$\begin{aligned} 4c^2 &= (15\alpha -2c)^2 +15\alpha^2 \end{aligned}$

$⋮$$\quad\quad \vdots$

$240{\alpha }^2-60c\alpha =0$$240\alpha ^2 -60c\alpha=0$

$\alpha$$\alpha$는 당연히 $0$$0$일리 없으니까!!

$c=4\alpha$$c=4\alpha$

오! $◻QPF{F}^{\prime }$$\square QPFF'$ 은 마름모였네...

iii. 계산

• $c+k=15\alpha ⟹\alpha =?$$c+k=15\alpha\quad \Longrightarrow\quad \alpha=?$
• $\overline{P{F}^{\prime }}+\overline{PF}=12$$\overline{PF'}+\overline{PF}=12$

$\overline{P{F}^{\prime }}=\sqrt{15{\alpha }^2+{\alpha }^2}=4\alpha$$\overline{PF'}=\sqrt{15\alpha^2 +\alpha^2}=4\alpha$

$12\alpha =12$$12\alpha=12$

$\therefore \alpha =1$$\therefore~\alpha=1$

$\therefore c+k=15$$\therefore~c+k=15$