2021년 04월 기하 29번

29. 좌표평면 위에 네 점 $A(-2,0),B(1,0),C(2,1),D(0,1)$$A(-2,~0),~B(1,~0),~C(2,~1),~D(0,~1)$이 있다. 반원의 호 $(x+1{)}^2+y^2=1(0\le y\le 1)$$(x+1)^2 +y^2 =1~(0\le y\le 1)$ 위를 움직이는 점 $P$$P$와 삼각형 $BCD$$BCD$ 위를 움직이는 점 $Q$$Q$에 대하여 $|\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{AQ}|$$\big|\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{AQ}\big|$의 최댓값을 $M$$M$, 최솟값을 $m$$m$이라 하자. $M^2+m^2=p+2\sqrt{q}$$M^2+m^2=p+2\sqrt q$일 때, $p\times q$$p\times q$이 값을 구하시오. (단, $O$$O$는 원점이고, $p$$p$와 $q$$q$는 유리수이다.)

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i. 정리

당연히 벡터 문제이고, 벡터 크기의 최대$\cdot$$\cdot$최소에 관련한 문제이니 고정점을 기준으로 표현을 바꾸는 것이 편할 것이다.

원이 나왔으니 원의 중심, 그리고 원점, 그리고 삼각형의 한 점들 중에서 최대한 표현형태를 줄여나가면서 알기 쉽게 바꾸도록 하자.

• $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OR}+\overrightarrow{RP}$$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OR}+\overrightarrow{RP}$ (단, $R(-1,0)$$R(-1,0)$이라 하자.)
• $\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BQ}$$\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BQ}$

이를 이용하면,

$\begin{array}{rl}|\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{AQ}|& =|\overrightarrow{OR}+\overrightarrow{RP}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BQ}|\\ & =|\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{RP}+\overrightarrow{BQ}|\end{array}$$\begin{aligned} \big|\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{AQ}\big|&= \big|\overrightarrow{OR}+\overrightarrow{RP}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BQ}\big| \\ &= \big| \overrightarrow{AO}+\overrightarrow{RP}+\overrightarrow{BQ}\big| \end{aligned}$

그런데, $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{RB}$$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{RB}$ !!!! 이를 활용하면,

$\begin{array}{rl}|\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{AQ}|& =|\overrightarrow{RB}+\overrightarrow{RP}+\overrightarrow{BQ}|\\ & =|\overrightarrow{RQ}+\overrightarrow{RP}|\end{array}$$\begin{aligned} \big|\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{AQ}\big| &=\big|\overrightarrow{RB}+\overrightarrow{RP}+\overrightarrow{BQ}\big| \\ &=\big|\overrightarrow{RQ}+\overrightarrow{RP}\big|\end{aligned}$

오! $R$$R$을 기준으로 바꿔치기가 되었다.

ii. 최대일 때를 찾아보자.

• $|\overrightarrow{RP}|=1$$\big|\overrightarrow{RP}\big|=1$ 이므로, $|\overrightarrow{RQ}|$$\big|\overrightarrow{RQ}\big|$가 최대가 될 때, $\overrightarrow{RP}$$\overrightarrow{RP}$가 평행한 벡터가 되면?

즉, $Q=C$$Q=C$ 일 때, $|\overrightarrow{RQ}|$$\big|\overrightarrow{RQ}\big|$의 크기가 최대가 된다. 이때, $|\overrightarrow{RQ}+\overrightarrow{RP}|=|\overrightarrow{RC}|+1$$\big|\overrightarrow{RQ}+\overrightarrow{RP}\big|=\big| \overrightarrow{RC}\big| +1$

$\therefore M=\sqrt{3^2+1}+1=\sqrt{10}+1$$\therefore~M=\sqrt{3^2+1}+1=\sqrt {10}+1$

iii. 최소일 때를 찾아보자.

• $|\overrightarrow{RP}|=1$$\big|\overrightarrow{RP}\big|=1$ 이므로, $\overrightarrow{RP}$$\overrightarrow{RP}$와 $\overrightarrow{RQ}$$\overrightarrow{RQ}$의 사잇각이 클수록 ($\frac{\pi }{2}<\theta <\pi$$\cfrac {\pi}2 <\theta <\pi$, 단, $\theta$$\theta$는 사잇각) 그리고 $|\overrightarrow{RQ}|$$\big|\overrightarrow{RQ}\big|$이 작을 수록 최소가 될 것이다.

즉, $P=A$$P=A$일 때가 기준이 될 것이다.

그런데, 여기서 두가지의 경우가 발생한다.

• $\overline{RC}$$\overline{RC}$와 $\overline{BD}$$\overline{BD}$의 교점이 $Q$$Q$일까?
• $R$$R$과 $\overline{BD}$$\overline{BD}$의 거리가 최소가 되는 점이 $Q$$Q$일까?

물론 시간이 없으면 당근 두 경우 다 계산해서 찾으면 된다!!!! 무책임하지?

그런데, 잠깐 생각을 해보자. 가능하면 고정된 걸로 표현해내면서 찾은 상황이니 다음과 같이 생각할 수 있다.

$\begin{array}{rl}|\overrightarrow{RP}+\overrightarrow{RQ}|& =|\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{RQ}|\\ \\ & =|\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{RB}+\overrightarrow{BQ}|\\ \\ & =|\overrightarrow{RO}+\overrightarrow{BQ}|\end{array}$$\begin{aligned} \big|\overrightarrow{RP}+\overrightarrow{RQ}\big| &= \big| \overrightarrow{RA}+\overrightarrow{RQ}\big| \\ \\ &=\big| \overrightarrow{RA}+\overrightarrow{RB}+\overrightarrow{BQ}\big| \\ \\ &=\big|\overrightarrow{RO}+\overrightarrow{BQ}\big|\end{aligned}$

여기서 $\overrightarrow{RO}$$\overrightarrow{RO}$는 고정된 값이고, 최소가 되는 $Q$$Q$를 찾아내면 된다.

벡터의 합을 생각해보면, 우리는 다음과 같이 계산할 수 있다. (삼각형 $BDC$$BDC$를 $x$$x$ 축으로 $-1$$-1$만큼 이동시키면?)

즉,

$\begin{array}{rl}|\overrightarrow{RP}+\overrightarrow{RQ}|& =|\overrightarrow{RO}+\overrightarrow{BQ}|\\ \\ & =|\overrightarrow{RO}+\overrightarrow{B^{\prime }{Q}^{\prime }}|\\ \\ & =|\overrightarrow{R{Q}^{\prime }}|\end{array}$$\begin{aligned} \big|\overrightarrow{RP}+\overrightarrow{RQ}\big|&=\big|\overrightarrow{RO}+\overrightarrow{BQ}\big| \\ \\ &=\big|\overrightarrow{RO}+\overrightarrow{B'Q'} \big| \\ \\ &= \big|\overrightarrow{RQ'}\big|\end{aligned}$

기울기가 $\overline{B^{\prime }{D}^{\prime }}$$\overline{B'D'}$는 기울기가 $-1$$-1$이므로 피타고라스 정리를 이용하면, (뭐 점과 직선사이의 거리를 이용해도 좋고.....)

$m=\frac{\sqrt{2}}{2}$$m=\cfrac {\sqrt 2}2$

iv. 계산

$M^2=11+2\sqrt{10}$$M^2 =11 +2\sqrt {10}$

$m^2=\frac{1}{2}$$m^2 =\cfrac 12$

$\therefore M^2+m^2=\frac{23}{2}+2\sqrt{10}$$\therefore~M^2 +m^2 = \cfrac {23}2 +2\sqrt{10}$

$p=\frac{23}{2},q=10$$p=\cfrac {23}2,~q=10$

$\therefore p\times q=115$$\therefore~p\times q=115$