2023학년도 11월 15번

15. 모든 항이 자연수이고 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 $\{a_n\}$$\{a_n\}$에 대하여 $a_9$$a_9$의 최댓값과 최솟값을 각각 $M,m$$M,~m$이라 할 때, $M+m$$M+m$의 값을 구하시오.

(가) $a_7=40$$a_7=40$

(나) 모든 자연수 $n$$n$에 대하여 $\{\begin{array}{ll}{a}_{n+2}=a_{n+1}+a_n& (a_{n+1}\text{이 }3\text{의 배수가 아닌 경우})\\ \frac{1}{3}{a}_{n+1}& (a_{n+1}\text{이 }3\text{의 배수인 경우})\end{array}$$\begin{cases} a_{n+2} = a_{n+1}+a_n&(a_{n+1}\text{이 }3\text{의 배수가 아닌 경우})\\ \cfrac 13 a_{n+1}&(a_{n+1} \text{이 }3\text{의 배수인 경우})\end{cases}$이다.

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i. 생각

• $3$$3$의 배수에 따라서 경우가 나뉜다.
• 최대와 최소....

ii. $a_7=40$$a_7=40$을 이용하자.

우선 가장 간단한 $a_6=120$$a_6=120$일 때를 생각하자! 어?

$a_8=40+120=160$$a_8=40+120=160$

$a_9=160+40=200$$a_9=160+40=200$

뭐 당연히 최댓값은 $3$$3$으로 나누는 것보다는 더하는 게 크겠지?

$\therefore M=200$$\therefore~ M=200$

iii. 그럼 $m$$m$은?

• $a_6$$a_6$이 $3$$3$의 배수가 아닐 때를 생각해야겠다....

  $a_7=a_6+a_5$$a_7=a_6+a_5$

  흠......아오......수열의 귀납적 정의에 따라서 수열의 각 항들이 존재하는 지 살펴봐야하네...

아무튼... 두 수의 합이 $40$$40$이고 $a_6$$a_6$은 $3$$3$의 배수가 아니어야 한다. 그리고 그에 따라 나오는 $a_5$$a_5$도 염두에 두어야 한다...

• $(a_6,a_5)$$(a_6,~a_5)$의 순서쌍을 생각하자.

  • $(1,39)$$(1,~39)$는 불가능하다. $a_5=39$$a_5=39$이면 $a_6=13$$a_6=13$이어야 한다.
  • $(2,38)$$(2,~38)$은 가능해보이는데, $a_6$$a_6$을 만들 수 없다. (모든 항이 자연수!!)
  • $(4,36)$$(4,~36)$도 당연히 안 된다....($a_6=12$$a_6=12$가 되어야 한다...)

  좀 생각해보면.... $a_6$$a_6$는 $3$$3$의 배수가 아니고, $a_5$$a_5$는 $3$$3$의 배수이거나, $3$$3$의 배수가 아닐 때에는 $a_6$$a_6$보다 작아야한다.

  물론 이게 되면 그 전의 항들이 존재하는 지도 살펴봐야한다...뭐야...이건...

  이 조건에 맞는 순서쌍은 $(10,30),(32,8)$$(10,~30),~(32,~8)$ 일 때에만 가능하다.

• $(10,30)$$(10,~30)$일 때,

  $a_8=40+10=50$$a_8=40+10=50$

  $a_9=50+40=90$$a_9=50+40=90$

• $(32,8)$$(32,~8)$일 때,

  $a_8=40+32=72$$a_8=40+32=72$

  $a_9=24$$a_9=24$

$\therefore m=24$$\therefore~ m=24$

iv. 계산

$\therefore M+m=200+24=224$$\therefore~ M+m=200+24=224$