2022년 10월 22번

22. 최고차항의 계수가 $1$$1$인 사차함수 $f(x)$$f(x)$와 실수 $t$$t$에 대하여 구간 $(-\mathrm{\infty },t]$$(-\infty,~t]$에서 함수 $f(x)$$f(x)$의 최솟값을 $m_1$$m_1$이라 하고, 구간 $[t,\mathrm{\infty })$$[t,~\infty)$에서 함수 $f(x)$$f(x)$의 최솟값을 $m_2$$m_2$라 할 때,

$$g(t)=m_1-m_2$$

라 하자. $k>0$$k>0$인 상수 $k$$k$와 함수 $g(t)$$g(t)$가 다음 조건을 만족시킨다.

$g(t)=k$$g(t)=k$를 만족시키는 모든 실수 $t$$t$의 값의 집합은 $\{t|0\le t\le 2\}$$\{t|0\le t\le 2\}$이다.

$g(4)=0$$g(4)=0$일 때, $k+g(-1)$$k+g(-1)$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• $k>0$$k>0$을 이용하면 $y=f(x)$$y=f(x)$의 그래프의 개형을 유추할 수 있네?
• $g(4)=0$$g(4)=0$을 보니 $y=f(x)$$y=f(x)$의 최솟값은 $x=4$$x=4$에서 발생한다!

ii. 그래프 개형을 그리고 생각하자.

• $\{t|0\le t\le 2\}$$\{t|0\le t\le 2\}$일 때, $g(t)=k$$g(t)=k$로 고정이다? 이 조건을 만족하기 위해서는

  

  조건을 정리하자.

  • $f^{\prime }(0)=f^{\prime }(4)=0$$f'(0)=f'(4)=0$
  • $f(0)=f(2)$$f(0)=f(2)$
  • $f(0)-f(4)=k$$f(0)-f(4)=k$

  그리고 그래프로 부터 $f(x)=x^2(x-2)(x-\alpha )+f(0)$$f(x)=x^2 (x-2)(x-\alpha)+f(0)$으로 표현할 수 있다.

iii. 계산하자.

• $f^{\prime }(4)=0$$f'(4)=0$을 이용하면,

  $f^{\prime }(x)=2x(x-2)(x-\alpha )+x^2(x-\alpha )+x^2(x-2)$$f'(x)=2x(x-2)(x-\alpha)+x^2 (x-\alpha)+x^2 (x-2)$

  $⋮$$\vdots$

  $\alpha =5$$\alpha=5$

  $\therefore f(x)=x^2(x-2)(x-5)+f(0)$$\therefore~ f(x)=x^2 (x-2)(x-5)+f(0)$

• $g(t)$$g(t)$를 이용하면,

  $g(t)=f(0)-f(4)=32$$g(t)=f(0)-f(4)=32$

• $g(-1)$$g(-1)$을 구하면,

  $g(-1)=f(-1)-f(4)=50$$g(-1)=f(-1)-f(4)=50$

$\therefore k+g(-1)=32+50=82$$\therefore~ k+g(-1)=32+50=82$