2023학년도 11월 14번

14. 다항함수 $f(x)$$f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$$g(x)$를 다음과 같이 정의한다.

$$g(x)=\{\begin{array}{ll}x& (x<-1\text{또는}x>1)\\ f(x)& (-1\le x\le 1)\end{array}$$

함수 $h(x)=\underset{t\to 0}{lim}g(x+t)\times \underset{t\to 2+}{lim}g(x+t)$$h(x)=\lim\limits_{t\to 0}g(x+t)\times \lim\limits_{t\to 2+} g(x+t)$에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고르시오.

ㄱ. $h(1)=3$$h(1)=3$

ㄴ. 함수 $h(x)$$h(x)$는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

ㄷ. 함수 $g(x)$$g(x)$가 닫힌구간 $[-1,1]$$[-1,~1]$에서 감소하고 $g(-1)=-2$$g(-1)=-2$이면 함수 $h(x)$$h(x)$는 실수 전체의 집합에서 최솟값을 갖는다.

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i. 생각

우선 대충 그래프를 그려보고 시작하자.

$f(x)$$f(x)$가 어떻게 생겼을까?

ii. ㄱ

$\begin{array}{rl}h(1)& =\underset{t\to 0+}{lim}g(1+t)\times \underset{t\to 2+}{lim}g(1+t)\\ \\ & =1\times 3\end{array}$$\begin{aligned} h(1)&=\lim\limits_{t\to 0+} g(1+t)\times \lim\limits_{t\to 2+} g(1+t)\\ \\&=1\times 3\end{aligned}$

True

뭐지....? 열린구간 $[-1,1]$$[-1,~1]$을 딱 비껴가서 계산을 시켰다?

iii. ㄴ.

어랏? $f(x)$$f(x)$가 어떤 경우인지 알려주질 않고 ???

그럼 당연히 $y=g(x)$$y=g(x)$가 $x=1,x=-1$$x=1,~x=-1$에서 불연속으로 두고 접근해야겠다?

$h(x)$$h(x)$를 보니 $t\to 0+,t\to 2+$$t\to 0+,~t\to 2+$로 우극한과 관련되어있네?

그럼 $x=-3$$x=-3$일 때, 생각해보면 되지 않을까? $x=-3$$x=-3$에서 우극한과 좌극한이 일치하는 지 살펴보자.

• $\underset{t\to 0+}{lim}g(-3+t)=-3$$\lim\limits_{t\to 0+} g(-3+t)=-3$

  $\underset{x\to -3+}{lim}(\underset{t\to 0+}{lim}g(x+t))=\underset{x\to -3-}{lim}(\underset{t\to 0+}{lim}g(x+t))$$\lim\limits_{x\to -3+}\Big(\lim\limits_{t\to 0+}g(x+t)\Big)=\lim\limits_{x\to -3-}\Big(\lim\limits_{t\to 0+} g(x+t)\Big)$

  뭐 $x<-1$$x<-1$에서 연속이니까 당연하지?

• $\underset{t\to 2+}{lim}g(-3+t)$$\lim\limits_{ t\to 2+} g(-3+t)$

  똑같이 생각해보면?

  $\underset{x\to -3+}{lim}(\underset{t\to 2+}{lim}g(x+t))=\underset{x\to -3-}{lim}(\underset{t\to 2+}{lim}g(x+t))$$\lim\limits_{x\to -3+}\Big(\lim\limits_{t\to 2+}g(x+t)\Big)=\lim\limits_{x\to -3-}\Big(\lim\limits_{t\to 2+} g(x+t)\Big)$ 이 성립할까?

  따지고보면, $x=-1$$x=-1$에서 불연속이면???

  $x=-3$$x=-3$에서 $h(x)$$h(x)$는 불연속이다!!

False

iv. ㄷ

$f(x)$$f(x)$의 조건이 주어졌다! 그것도 대충!!!

그러니 대충 그리자!

조건 ㄴ. 이 참이니까 $y=h(x)$$y=h(x)$는 $x=-1$$x=-1$에서 불연속이다.

그리고 $x<-3$$x<-3$일 때를 생각하면, 편의상 $h(x)=g(x)\times g(x+2)$$h(x)=g(x)\times g(x+2)$로 표현가능하다.

즉, $h(x)=x(x-2)(x<-3)$$h(x)=x(x-2)\quad (x<-3)$임을 알 수 있다.

그리고 이 구간에서 $y=h(x)$$y=h(x)$는 감소한다!

 

그리고 $y=h(x)$$y=h(x)$는 당연히! $x=-3$$x=-3$ 에서 불연속이다!

• $-3<x<-1$$-3<x<-1$

  증가한다! ( $f(x)$$f(x)$는 감소함수!!) 아무튼 $x=-3$$x=-3$에서 $h(x)$$h(x)$는 불연속이다.

  이 구간에서 최솟값은 존재하지 않는다.

• $x=-1$$x=-1$일 때, 불연속

• $-1<x<1$$-1<x<1$

  감소함수이다.

• $1<x$$1<x$

  다시 증가함수이다.

그런데, $x=1$$x=1$에서 불연속이다!

False

 

어랏? 보기 문제에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ이 아니네??