2017학년도 09월 나형 29번

29. 구간 $[0,~8]$에서 정의된 함수 $f(x)$는

이다. 실수 $a~(0\le a\le 4)$에 대하여 $\begin{aligned} \int_a^{a+4} f(x)dx\end{aligned}$의 최솟값은 $\cfrac qp$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.)

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i. 생각

• $h(a)=\begin{aligned} \int_a^{a+4} f(x)dx\end{aligned}$이라 하자

  • $a=0$일 때 최대 (그래프만 봐도 딱!)
  • $a$가 조금 증가하면? $h(x)$는 감소한다? (그래프만 봐도 딱! 헌데 어느 순간을 기점으로 증가하니까 문제를 낸 것이겠지?)

  $h(a)$의 극솟값인가 보다?

• $h'(a)=f(a+4)-f(a)$

  • 극값이 존재하는가 살펴보자!

    • $4\le a+4\le 8\quad \longrightarrow\quad f(a+4)=a$

    • $0\le a\le 4\quad \longrightarrow\quad f(a)=-a(a-4)$

  • $h'(a)=0$인 $a$ 값을 찾자.

    $a+a(a-4)=0$

    $a=0,~3$

  $\therefore~a=3$일 때 최솟값을 갖는다!

ii. 계산

$\begin{aligned}\int_3^7 f(x)dx &= \int_3^4 -x(x-4)dx +\int_4^7 (x-4)dx \\ \\ &=\cfrac {37}6\end{aligned}$

당연히 게.산.생.략.

계산은 계산기가 해주는 게 좋지...

$\therefore~p+q=43$