2017학년도 09월 나형 21번

21. 다음 조건을 만족시키며 최고차항의 계수가 음수인 모든 사차함수 $f(x)$에 대하여 $f(1)$의 최댓값을 구하시오.

(가) 방정식 $f(x)=0$의 실근은 $0,~2,~3$ 뿐이다.

(나) 실수 $x$에 대하여 $f(x)$와 $\big|x(x-2)(x-3)\big|$ 중 크지 않은 값을 $g(x)$라 할 때, 함수 $g(x)$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

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i. 정리

• $f(x)$가 가능한 경우는? (단, $a>0$)

  $f(x)=\begin{cases} -ax^2 (x-2)(x-3)\\ \\ -ax(x-2)^2(x-3)\\ \\ -ax (x-2)(x-3)^2 \end{cases}$

• $g(x)=\min \big\{ f(x),~|x(x-2)(x-3)|\big\}$ 이고 미분가능

• $h(x)=|x(x-2)(x-3)$이라 하자.

ii. 생각

뭐 늘상 그렇듯이 대충 그래프를 그려서 상황을 생각해보자.

• $f(x)=-ax^2(x-2)(x-3)$

  

  나머지와 비교하니 계산할 필요조차 없어 보인다.

• $f(x)=-ax(x-2)^2(x-3)$

  

  • 주황색처럼 주어진 함수와 교차할 경우 미분불가한 지점이 나온다.
  • 보라색처럼 교점이 발생하지 않아야 함을 알 수 있다.

• $f(x)=-ax(x-2)(x-3)^2$

  

iii. 또 생각하자.

• $f(x)=-ax(x-2)^2(x-3)$의 경우를 보자.

  

  • 전체 구간에서 $g(x)=f(x)$이고 $x=0,~3$을 확인해야한다.

  • $\lim\limits_{x\to 0+} h'(x)\ge f'(0)$

    • $\lim\limits_{x\to 0+}h'(x)=6$

    • $f'(0)=12a$

    $\therefore~a\le \cfrac 12$

  • $\lim\limits_{x\to 3-}h'(x)\le f'(3)$

    • $\lim\limits_{x\to 3-}h'(x)=-3$
    • $f'(3)=-3a$

    $\therefore~a\le 1$

  $\therefore~a\le \cfrac 12$

  • $f(1)=2a\le 1$

• $f(x)=-ax(x-2)(x-3)^2$의 경우를 보자

  

  • 전체 구간에서 $g(x)=f(x)$이고 $x=0,~2$를 확인해야 한다.

  • $\lim\limits_{x\to 0+}h'(x)\ge f'(0)$

    • $\lim\limits_{x\to 0+}h'(x)=6$

    • $f'(0)=18a$

    $\therefore~a\le \cfrac 13$

  • $\lim\limits_{x\to 2-}h'(x)\le f'(2)$

    • $\lim\limits_{x\to 2-}h'(x)=-2$
    • $f'(2)=-2a$

    $\therefore~a\le 1$

  $\therefore~a\le \cfrac 13$

  $\therefore~f(1)=4a\le \cfrac 43$

$\therefore~\max ~f(1)=\cfrac 43$