2023년 05월 미적분 30번

30. $x\ge 0$$x\ge 0$에서 정의된 함수 $f(x)$$f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\begin{array}{c}f(x)=\{\begin{array}{ll}{2}^x-1& (0\le x\le 1)\\ 4\times (\frac{1}{2}{)}^x-1& (1<x\le 2)\end{array}\end{array}$$f(x)=\begin{cases}2^x -1&(0\le x\le 1)\\ 4\times \big(\cfrac 12 \big)^x -1&(1<x\le 2)\end{cases}$

(나) 모든 양의 실수 $x$$x$에 대하여 $f(x+2)=-\frac{1}{2}f(x)$$f(x+2)=-\cfrac 12 f(x)$이다.

$x>0$$x>0$에서 정의된 함수 $g(x)$$g(x)$를 $g(x)=\underset{h\to 0+}{lim}\frac{f(x+h)-f(x-h)}{h}$$g(x)=\lim\limits_{h\to 0+} \cfrac {f(x+h)-f(x-h)}h$라 할 때,

$$\underset{t\to 0+}{lim}\{g(n+t)-g(n-t)\}+2g(n)=\frac{\ln 2}{2^{24}}$$

를 만족시키는 모든 자연수 $n$$n$의 값의 합을 구하시오.

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와우 읽어만 봐도 더럽다...

i. 정리

• 우선 그래프 개형을 그려보자

  

  어랏?

  우선 정해진 구간 $[2k-2,2k]$$[2k-2,~2k]$에서는 $x=2k-1$$x=2k-1$에 대칭인거 같은데? (단, $k$$k$는 자연수)

  맞는 지 계산해보자.

  • $f(1-x)=f(1+x)$$f(1-x)=f(1+x)$가 성립하는가? (단, $0\le x\le 1$$0\le x\le 1$)

    $f(1-x)=2(\frac{1}{2}{)}^x-1=f(1+x)$$f(1-x)=2(\frac 12 )^x -1=f(1+x)$

    (당연히 계산 생략....;;;)

    오오....이러면 계산이 편하겠다.

• $g(x)$$g(x)$를 살펴보자.

  $\begin{array}{rl}g(x)& =\underset{h\to 0+}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\underset{h\to 0+}{lim}\frac{f(x-h)-f(x)}{h}\\ & =\underset{h\to 0+}{lim}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\underset{h\to 0+}{lim}\frac{f(x-h)-f(x)}{-h}\end{array}$$\begin{aligned} g(x)&= \lim\limits_{ h\to 0+} \cfrac {f(x+h)-f(x)}h -\lim\limits_{ h\to 0+}\cfrac{f(x-h)-f(x)}h \\ &=\lim\limits_{ h\to 0+} \cfrac {f(x+h)-f(x)}h +\lim\limits_{ h\to 0+}\cfrac{f(x-h)-f(x)}{-h}\\ \end{aligned}$

  식을 잘 보면, $g(x)$$g(x)$는 $f^{\prime }(x)$$f'(x)$의 우극한 값과 $f^{\prime }(x)$$f'(x)$의 좌극한 값을 더한 것이다.

• $g(x)$$g(x)$에 대하여 조금 더 살펴보자.

  • $x\ne$$x\neq$자연수 일 때,

    $f(x)$$f(x)$가 미분가능이므로 $2f^{\prime }(x)$$2f'(x)$

  • $x=$$x=$ 홀수일 때,

    계산을 해야하는데....$x=$$x=$홀수 에서 $f(x)$$f(x)$는 작은 구간으로 봤을 때 ($[2k-2,2k]$$[2k-2,~2k]$ $k$$k$는 자연수) 대칭이므로

    편의상 $\begin{array}{c}f(x)=\{\begin{array}{ll}h(x)& (2k-2\le x\le 2k-1)\\ j(x)& (2k-1<x\le 2k)\end{array}\end{array}$$f(x)=\begin{cases} h(x)&(2k-2\le x\le 2k-1)\\ j(x)&(2k-1<x\le 2k)\end{cases}$라 하면,

     

    $g(x)=h^{\prime }(x)+j^{\prime }(x)$$g(x)=h'(x)+j'(x)$이다. 그런데!!!! 대칭이잖아!!!! 흐흐흐흐흐흐흐 즉, $j^{\prime }(x)=-h(x)$$j'(x)=-h(x)$가 성립한단 말이지...

    $\therefore g(x)=0$$\therefore~ g(x)=0$

  • $x$$x$는 짝수일 때,

    좀 복잡해 보이는데...홀수인 경우에서 처럼 분명히 대칭성을 활용하여 하나의 함수로 표현이 가능할 것이다.

    그리고, $f(x+2)=-\frac{1}{2}f(x)$$f(x+2)=-\cfrac 12 f(x)$를 보니 값도 상수로 끝내버릴 수 있을 거 같다.

     

    편의상 $x=2$$x=2$일 때를 먼저 생각해보자.

    • $f^{\prime }(2)$$f'(2)$의 우극한 : $-\frac{1}{2}{h}^{\prime }(0)$$-\cfrac 12 h'(0)$

    • $f^{\prime }(2)$$f'(2)$의 좌극한 : $j^{\prime }(2)=-h^{\prime }(0)$$j'(2)=-h'(0)$

      $x=$$x=$홀수에서 대칭임을 이용하면 말이다. (단, $2k-2\le x\le 2k$$2k-2\le x\le 2k$이고 $k$$k$는 자연수)

    이거 느낌 상으로 확장가능해 보이지 않아?

  • $x=2m$$x=2m$이고 $m$$m$는 자연수라 하면,

    $g(x)=(-\frac{1}{2}{)}^m{h}^{\prime }(0)+(-\frac{1}{2}{)}^{m-1}\cdot -h^{\prime }(0)$$g(x)=\big(-\cfrac 12 \big)^m h'(0)+\big(-\cfrac 12 \big)^{m-1}\cdot -h'(0)$

    식을 조금 보기 편하게 정리하면,

    $g(x)=3(-\frac{1}{2}{)}^m{h}^{\prime }(0)$$g(x)=3\big(-\cfrac 12 \big)^m h'(0)$

    그리고 $h^{\prime }(x)=2^x\ln 2$$h'(x)=2^x \ln 2$에서 $h^{\prime }(0)=\ln 2$$h'(0)=\ln 2$

    $\therefore g(x)=3(-\frac{1}{2}{)}^m\ln 2$$\therefore~ g(x)=3\big(-\cfrac 12 \big)^m\ln 2$

좀 많이 더러운 걸.... 그래도 어떻게든 간단하게 해놔야 다음 과정을 할 수 있으니까..뭐...

아무튼..이제 계산하면 될 거 같다.

ii. 계산 (단, $k$$k$는 자연수!!!)

• $n=2k-1$$n=2k-1$일 때,

  • $\underset{t\to 0+}{lim}g(n+t)=2j^{\prime }(n)=-2h^{\prime }(1)(-\frac{1}{2}{)}^{k-1}$$\lim\limits_{t\to 0+} g(n+t)=2j'(n)=-2h'(1)\big(-\cfrac 12 \big)^{k-1}$

  • $\underset{t\to 0+}{lim}g(n-t)=2h^{\prime }(1)(-\frac{1}{2}{)}^{k-1}$$\lim\limits_{t\to0+} g(n-t)=2h'(1)\big(-\cfrac 12 \big)^{k-1}$

  • $g(n)=0$$g(n)=0$

  $\therefore \underset{t\to 0+}{lim}\{g(n+t)-g(n-t)\}+2g(n)=-4h^{\prime }(1)(-\frac{1}{2}{)}^{k-1}=\frac{\ln 2}{2^{24}}$$\therefore~ \lim\limits_{ t\to 0+}\big\{ g(n+t)-g(n-t)\big\}+2g(n)=-4h'(1)\big(-\cfrac 12 \big)^{k-1} =\cfrac {\ln 2}{2^{24}}$

  풀면...

  $-4\cdot 2\ln 2(-\frac{1}{2}{)}^{k-1}=\frac{\ln 2}{2^{24}}$$-4\cdot 2\ln 2 \big(-\cfrac 12 \big)^{k-1} =\cfrac {\ln 2}{2^{24}}$

  $k=28$$k=28$

  $\therefore n=55$$\therefore~ n=55$

• $n=2k$$n=2k$일 때,

  • $\underset{t\to 0+}{lim}g(n+t)=2h^{\prime }(0)(-\frac{1}{2}{)}^k$$\lim\limits_{t\to 0+} g(n+t)=2h'(0)\big(-\cfrac 12 \big)^{k}$

  • $\underset{t\to 0+}{lim}g(n-t)=-2h^{\prime }(0)(-\frac{1}{2}{)}^{k-1}=4h^{\prime }(0)(-\frac{1}{2}{)}^k$$\lim\limits_{t\to0+} g(n-t)=-2h'(0)\big(-\cfrac 12 \big)^{k-1}=4h'(0)\big(-\cfrac 12 \big)^k$

  • $2g(n)=6(-\frac{1}{2}{)}^k$$2g(n)=6\big(-\cfrac 12\big)^k$

  $\therefore \underset{t\to 0+}{lim}\{g(n+t)-g(n-t)\}+2g(n)=4h^{\prime }(0)(-\frac{1}{2}{)}^k=\frac{\ln 2}{2^{24}}$$\therefore~ \lim\limits_{ t\to 0+}\big\{ g(n+t)-g(n-t)\big\}+2g(n)=4h'(0)\big(-\cfrac 12 \big)^{k} =\cfrac {\ln 2}{2^{24}}$

  아오 드러...

  아무튼 $h^{\prime }(0)=\ln 2$$h'(0)=\ln 2$니까 계산하면,

  $(-\frac{1}{2}{)}^k=\frac{1}{2^{26}}$$(-\frac 12 )^k=\cfrac 1{2^{26}}$

  $k=26$$k=26$

  $\therefore n=52$$\therefore~ n=52$

$\therefore 55+52=107$$\therefore~ 55+52=107$

 

대칭성과 주기성을 가지고 장난치면서 왔는데....막상 글로 적으니 더 힘들어 보이네...

뭐....직접 따라가면서 풀어보면 이해하겠지?