2023년 03월 미적분 29번

29. 자연수 $n$$n$에 대하여 $x$$x$에 대한 부등식 $x^2-4nx-n<0$$x^2 -4nx-n<0$을 만족시키는 정수 $x$$x$의 개수를 $a_n$$a_n$이라 하자. 두 상수 $p,q$$p,~q$에 대하여 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{n{a}_n}-pn=q$$\lim\limits_{ n\to \infty}\sqrt{na_n} -pn=q$일 때, $100pq$$100pq$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• 부등식을 풀면,

  $2n-\sqrt{4n^2+n}<x<2n+\sqrt{4n^2+n}$$2n-\sqrt{4n^2 +n}<x<2n+\sqrt{4n^2+n}$

  에이..귀찮게...

• 극한식을 보니 $p>0$$p>0$이다.

ii. 풀자.

편의상 두 근을 $\alpha <\beta$$\alpha<\beta$라 하면,

$\beta -\alpha =2\sqrt{4n^2+n}$$\beta-\alpha =2\sqrt {4n^2+n}$

$4n<\beta -\alpha <4n+2$$4n<\beta-\alpha<4n+2$

아니아니아니아니,

$2n<\sqrt{4n^2+n}<2n+1$$2n<\sqrt {4n^2 +n} <2n+1$이라고 보는 게 더 편하겠다.

이를 토대로 $x$$x$의 범위를 생각하면,

$0\le x<4n+1$$0\le x<4n+1$

$1\le x<3⟶x$$1\le x<3\quad \longrightarrow \quad x$의 개수는 $2=3-1$$2=3-1$이니까,

$a_n=4n+1-0=4n+1$$a_n=4n+1-0=4n+1$

iii. 극한식을 풀자.

$\begin{array}{rl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n{a}_n-p^2{n}^2}{\sqrt{n{a}_n}+pn}& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{4n^2+n-p^2{n}^2}{\sqrt{4n^2}+pn}\end{array}$$\begin{aligned}\lim\limits_{n\to \infty} \cfrac{na_n -p^2n^2}{\sqrt{na_n}+pn} &=\lim\limits_{n\to \infty}\cfrac {4n^2 +n-p^2n^2}{\sqrt{4n^2 }+pn} \end{aligned}$

$p=2$$p=2$가 되어야 하고, 이를 대입해서 계산하면, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{n{a}_n}-pn=\frac{1}{4}$$\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt{na_n}-pn=\cfrac 14$

$\therefore 100pq=100\cdot 2\cdot \frac{1}{4}=50$$\therefore~ 100pq=100\cdot 2\cdot \cfrac 14=50$

뭐 이따위가 29번이지...?