2023년 05월 14번

14. 양의 실수 $t$$t$에 대하여 함수 $f(x)$$f(x)$를 $f(x)=x^3-3t^{2}x$$f(x)=x^3 -3t^2 x$라 할 때, 닫힌구간 $[-2,1]$$[-2,~1]$에서 두 함수 $f(x),|f(x)|$$f(x),~|f(x)|$의 최댓값을 각각 $M_1(t),M_2(t)$$M_1(t),~M_2(t)$라 하자. 함수 $g(t)=M_1(t)+M_2(t)$$g(t)=M_1(t)+M_2(t)$에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고르시오.

ㄱ. $g(2)=32$$g(2)=32$

ㄴ. $g(t)=2f(-t)$$g(t)=2f(-t)$를 만족시키는 $t$$t$의 최댓값과 최솟값의 합은 $3$$3$이다.

ㄷ. $\underset{h\to 0+}{lim}\frac{g(\frac{1}{2}+h)-g(\frac{1}{2})}{h}-\underset{h\to 0-}{lim}\frac{g(\frac{1}{2}+h)-g(\frac{1}{2})}{h}=5$$\lim\limits_{h\to 0+}\cfrac{g\big(\frac 12+h\big)-g\big(\frac 12\big)}h-\lim\limits_{h\to 0-} \cfrac {g\big(\frac 12 +h\big)-g\big(\frac 12\big)}h=5$

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i. ㄱ

$f(x)=x^3-12x=x(x^2-12)$$f(x)=x^3 -12x=x(x^2 -12)$

$f^{\prime }(x)=3x^2-12=3(x+2)(x-2)$$f'(x)=3x^2 -12=3(x+2)(x-2)$

그래프에서 보면, $M_1(2)=M_2(2)$$M_1(2)=M_2(2)$임을 알 수 있다.

$\therefore g(2)=M_1(2)\times 2=32$$\therefore~ g(2)=M_1(2)\times 2=32$

$\therefore$$\therefore~$True

ii. ㄴ

우선 그래프를 그려보면,

어? 그냥 ㄱ에서 계산한 거랑 똑같잖아?

그냥 $M_1(t)=M_2(t)$$M_1(t)=M_2(t)$인 경우를 찾으면 되는 거네

$t=2⟶Max$$t=2\quad \longrightarrow \quad Max$

$t=1⟶Min$$t=1\quad \longrightarrow \quad Min$

$\therefore 3$$\therefore~ 3$

$\therefore$$\therefore~$True

이쯤되면 항상 그렇듯이 ㄱ, ㄴ, ㄷ이 참일 거 같다?

iii. ㄷ

우선 주어진 식이 복잡하니 좀 보기 좋게 바꾸자.

$\underset{t\to \frac{1}{2}+}{lim}{g}^{\prime }(t)-\underset{t\to \frac{1}{2}-}{lim}{g}^{\prime }(t)=5$$\lim\limits_{t\to \frac 12 +} g'(t)-\lim\limits_{t\to \frac 12 -} g'(t)=5$

음..아무래도 $t=\frac{1}{2}$$t=\cfrac 12$ 근처에서 $g(t)$$g(t)$의 함수를 구해야겠다.

i. $0<t<\frac{1}{2}$$0<t<\cfrac 12$

$M_1(t)=f(1),M_2(t)=-f(-2)$$M_1(t)=f(1),~M_2(t)=-f(-2)$

$\begin{array}{rl}\therefore g(t)& =f(1)-f(-2)\\ & =9-9t^2\end{array}$$\begin{aligned} \therefore~ g(t)&=f(1)-f(-2)\\ &=9-9t^2\end{aligned}$

ii. $\frac{1}{2}<t$$\cfrac 12 <t$

$M_1(t)=f(-t),M_2(t)=-f(-2)$$M_1(t)=f(-t),~M_2(t)=-f(-2)$

$\begin{array}{rl}\therefore g(t)& =2t^3-6t^2+9\end{array}$$\begin{aligned} \therefore~ g(t)&=2t^3 -6t^2 +9\end{aligned}$

 

이제 계산하면 되네.

$\underset{t\to \frac{1}{2}+}{lim}(6t^2-12t)-\underset{t\to \frac{1}{2}-}{lim}(-18t)=\frac{9}{2}$$\lim\limits_{t\to \frac 12+} (6t^2 -12t)-\lim\limits_{t\to \frac 12 -} (-18t)=\cfrac 92$

$\therefore$$\therefore~$False