2023년도 03월 15번

15. 모든 항이 자연수인 수열 $\{a_n\}$$\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$$n$에 대하여 $\begin{array}{c}{a}_{n+2}=\{\begin{array}{ll}{a}_{n+1}+a_n& (a_{n+1}+a_n\text{이 홀수인 경우})\\ \frac{1}{2}(a_{n+1}+a_n)& (a_{n+1}+a_n\text{이 짝수인 경우})\end{array}\end{array}$$a_{n+2} =\begin{cases}a_{n+1}+a_n &(a_{n+1} +a_n\text{이 홀수인 경우})\\ \cfrac 12 \big(a_{n+1}+a_n\big) &(a_{n+1}+a_n\text{이 짝수인 경우}) \end{cases}$를 만족시킨다. $a_1=1$$a_1=1$일 때, $a_6=34$$a_6=34$가 되도록 하는 모든 $a_2$$a_2$의 값의 합을 구하시오.

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i. 생각

• $\begin{array}{c}{a}_2=\{\begin{array}{l}2k\\ 2k+1\end{array}\end{array}$$a_2=\begin{cases} 2k \\ 2k+1\end{cases}$ 에 따라 나뉘네?

ii. $a_2=2k$$a_2=2k$일 때, ($k\in \mathbb{N}$$k\in\mathbb N$)

$a_1=1,a_2=2k⟶a_3=2k+1$$a_1=1,~a_2=2k\quad \longrightarrow a_3=2k+1$(홀수)$⟶a_4=4k+1$$\quad \longrightarrow \quad a_4=4k+1$(홀수)$⟶a_5=\frac{6k+2}{2}=3k+1$$\quad \longrightarrow \quad a_5=\cfrac{6k+2}2=3k+1$

$a_5$$a_5$는 $k$$k$의 값에 따라 홀수와 짝수 둘다 가능하네?

• 홀수일 때, $a_6=\frac{7k+2}{2}=\frac{7}{2}k+1$$a_6=\cfrac{7k+2}2=\cfrac 72 k+1$

  $a_6=34$$a_6=34$를 만족하는 자연수 $k$$k$는 없다.

• 짝수일 때, $a_6=7k+2$$a_6=7k+2$

  역시 존재하지 않는다.

iii. $a_2=2k+1$$a_2=2k+1$일 때, $(k\in \mathbb{N})$$(k\in \mathbb N)$

$a_1=1,a_2=2k+1,a_3=k+1$$a_1=1,~a_2=2k+1,~a_3=k+1$

$k$$k$가 홀수냐 짝수냐...

$k$$k$가 홀수	$a_4=3k+2$$a_4=3k+2$ (홀수)	$a_5=4k+3$$a_5=4k+3$ (홀수)	$a_6=\frac{7k+5}{2}=34$$a_6=\cfrac {7k+5}2=34$
$k$$k$가 짝수	$a_4=\frac{3}{2}k+1$$a_4=\cfrac 32 k+1$	$\begin{array}{c}{a}_5=\{\begin{array}{l}\frac{5}{2}k+2\\ \frac{5}{4}k+1\end{array}\end{array}$$a_5=\begin{cases} \cfrac 52k+2\\ \cfrac 54k+1\end{cases}$	$\begin{array}{c}{a}_6=\{\begin{array}{l}4k+3\\ 2k+\frac{3}{2}\\ \frac{11}{4}k+2\\ \frac{11}{8}k+1\end{array}=34\end{array}$$a_6=\begin{cases} 4k+3\\ 2k+\cfrac 32\\ \cfrac {11}4k+2 \\ \cfrac {11}8k+1\end{cases}\quad =34$

아오...$a_4$$a_4$부터 $k=2k^{\prime }$$k=2k'$ 또는 $k=2k^{\prime }+1$$k=2k'+1$인지는 귀찮아서 그냥 밀어붙이고 나중에 계산을 하자.

iv. 계산

$a_6=\frac{7k+5}{2}=34⟶k=9⟶a_2=19$$a_6=\cfrac{7k+5}2=34\quad \longrightarrow \quad k=9\quad \longrightarrow \quad a_2=19$

$a_6=\frac{11}{8}k+1=34⟶k=24⟶a_2=49$$a_6=\cfrac {11}8 k+1=34\quad \longrightarrow \quad k=24\quad \longrightarrow \quad a_2=49$

$\therefore 19+49=68$$\therefore~ 19+49=68$