2023학년도 09월 15번

15. 수열 $\{a_n\}$$\{a_n\}$이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 자연수 $k$$k$에 대하여 $a_{4k}=r^k$$a_{4k}=r^k$이다. (단, $r$$r$은 $0<|r|<1$$0<|r|<1$인 상수이다.)

(나) $a_1<0$$a_1<0$이고, 모든 자연수 $n$$n$에 대하여 $\begin{array}{c}{a}_{n+1}=\{\begin{array}{ll}{a}_n+3& (|a_n|<5)\\ \\ -\frac{1}{2}{a}_n& (|a_n|\ge 5)\end{array}\end{array}$$a_{n+1}=\begin{cases}a_n+3&(|a_n|<5)\\ \\ -\cfrac 12 a_n &(|a_n|\ge 5) \end{cases}$이다.

$|a_m|\ge 5$$|a_m|\ge 5$를 만족시키는 $100$$100$이하의 자연수 $m$$m$의 개수를 $p$$p$라 할 때, $p+a_1$$p+a_1$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• 수열은 규칙

그런데...음...멋대로 접근 할 수가 없네.. 그나마 고정된 조건이 $a_{4k}=r^k$$a_{4k}=r^k$ 어? 이거군.

• $a_{4k}$$a_{4k}$를 기준으로 수열을 구해가면서 규칙을 찾아보자.

  $a_{4k}=r^k$$a_{4k}=r^k$

  $a_{4k+1}=a_{4k}+3=r^k+3<5(\because 0<|r^k|<1)$$a_{4k+1}=a_{4k}+3=r^k+3<5\quad (\because~0<|r^k|<1)$

  $a_{4k+2}=r^k+3+3=r^k+6>5$$a_{4k+2}=r^k+3 +3=r^k+6>5$

  $a_{4k+3}=-\frac{1}{2}(r^k+6)=-\frac{1}{2}{r}^k-3(|a_{4k+3}|<5)$$a_{4k+3} =-\cfrac 12 \big(r^k +6)=-\cfrac 12 r^k-3\quad (|a_{4k+3}|<5)$

  $a_{4k+4}=-\frac{1}{2}{r}^k=r^{k+1}(\because a_{4k}=r^k)$$a_{4k+4}=-\cfrac 12 r^k=r^{k+1}\quad (\because~a_{4k}=r^k)$

  오!

  $-\frac{1}{2}{r}^k=r^{k+1}\to r=-\frac{1}{2}$$-\cfrac 12 r^k =r^{k+1} \quad \rightarrow \quad r=-\cfrac 12$

오! 그럼 이제 $k$$k$에 자연수를 대입하면 되겠다!

• $k=1,\cdots$$k=1,~\cdots$를 대입하면 규칙을 찾도록 하자.

  i. $k=1$$k=1$일 때,

  $a_4=-\frac{1}{2}$$a_4=-\cfrac 12$

  $a_5=\frac{5}{2}$$a_5=\cfrac 52$

  $a_6=\frac{11}{2}$$a_6=\cfrac {11}2$

  $a_7=-\frac{11}{4}$$a_7=-\cfrac {11}4$

  ii. $k=2$$k=2$

  $a_8=\frac{1}{4}$$a_8=\cfrac 14$

  $a_9=\frac{13}{4}$$a_9=\cfrac {13}4$

  $a_{10}=\frac{25}{4}$$a_{10}=\cfrac {25}4$

  $a_{11}=-\frac{25}{8}$$a_{11}=-\cfrac {25}8$

  iii. $k=3$$k=3$

  $a_{12}=-\frac{1}{8}$$a_{12}=-\cfrac 18$

  $⋮$$\vdots$

규칙이다!! 규칙이다~!!!

$a_4\sim a_7$$a_4\sim a_7$에서 $|a_m|\ge 5$$|a_m|\ge 5$를 만족하는 건 $1$$1$개

$a_8\sim a_{11}$$a_8\sim a_{11}$에서 $1$$1$개

$a_{12}\sim a_{15}$$a_{12}\sim a_{15}$에서 $1$$1$개

$⋮$$\vdots$

$a_{96}\sim a_{99}$$a_{96}\sim a_{99}$에서 한개

$\therefore a_4\sim a_{100}$$\therefore~ a_4\sim a_{100}$ 에서 $|a_m|\ge 5$$|a_m|\ge 5$를 만족하는 항의 개수는 $24$$24$개

ii. $a_1$$a_1$을 찾자.

i. $|a_3|\ge 5$$|a_3|\ge 5$이라 가정하면,

$a_4=-\frac{1}{2}{a}_3\to -\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}{a}_3$$a_4=-\cfrac 12 a_3\quad \rightarrow \quad -\cfrac 12 =-\cfrac 12 a_3$

모순

ii. $|a_3|<5$$|a_3|<5$이면,

$-\frac{1}{2}=a_3+3\to a_3=-\frac{7}{2}$$-\cfrac 12 =a_3+3\quad \rightarrow \quad a_3=-\cfrac 72$

아 귀찮다. 빨리 계산하자.

$\begin{array}{c}{a}_3=-\frac{7}{2}=\{\begin{array}{ll}{a}_2+3\to a_2=-\frac{13}{2}& (|a_2|<5)\\ \\ -\frac{1}{2}{a}_2\to a_2=7& (|a_2|\ge 5)\end{array}\end{array}$$a_3=-\cfrac 72 =\begin{cases} a_2+3\quad \rightarrow \quad a_2=-\cfrac {13}2&(|a_2|<5) \\ \\ -\cfrac 12 a_2 \quad \rightarrow \quad a_2=7&(|a_2|\ge 5)\end{cases}$

$\therefore a_2=7$$\therefore~ a_2=7$

 

마지막 $a_1$$a_1$을 계산하자!

$\begin{array}{c}7=\{\begin{array}{l}{a}_1+3\\ \\ -\frac{1}{2}{a}_1\end{array}\end{array}$$7=\begin{cases} a_1+3 \\ \\ -\cfrac 12 a_1\end{cases}$

$\therefore a=-14$$\therefore~ a=-14$

그리고, $a_1\sim a_3$$a_1\sim a_3$에서 절댓값이 $5$$5$보다 크거나 같은 경우는 $2$$2$개이다.

 

$\therefore p=26,a_1=-14$$\therefore~p=26,~a_1=-14$

$\therefore p+a_1=12$$\therefore~ p+a_1=12$