2022년 10월 14번

14. 최고차항의 계수가 $1$$1$인 삼차함수 $f(x)$$f(x)$와 실수 $t$$t$에 대하여 $x$$x$에 대한 방정식

$${\int }_t^{x}f(s)ds=0$$

의 서로 다른 실근의 개수를 $g(t)$$g(t)$라 할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고르시오.

ㄱ. $f(x)=x^2(x-1)$$f(x)=x^2(x-1)$일 때, $g(1)=1$$g(1)=1$이다.

ㄴ. 방정식 $f(x)=0$$f(x)=0$의 서로 다른 실근의 개수가 $3$$3$이면 $g(a)=3$$g(a)=3$인 실수 $a$$a$가 존재한다.

ㄷ. $\underset{t\to b}{lim}g(t)+g(b)=6$$\lim\limits_{t\to b}g(t)+g(b)=6$을 만족시키는 실수 $b$$b$의 값이 $0$$0$과 $3$$3$ 뿐이면 $f(4)=12$$f(4)=12$이다.

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i. 생각

우선 보기를 살펴보자.

그냥 생각없이 $y=f(x)$$y=f(x)$의 그래프를 그려서 접근해도 되지만, 보기 ㄷ에서 움찔할 수 있다?

우선 주어진 식 $y=\begin{array}{r}{\int }_t^{x}f(s)ds\end{array}$$y=\begin{aligned} \int_t^x f(s)ds\end{aligned}$를 생각해볼 수 있다?

$h(x)=\begin{array}{r}{\int }_t^{x}f(s)ds\end{array}=F(x)-F(t)$$h(x)=\begin{aligned} \int_t^x f(s)ds\end{aligned} =F(x)-F(t)$인 최고차항의 계수가 $\frac{1}{4}$$\cfrac 14$인 사차함수이다.

ii. 풀자.

ㄱ.

$h(x)$$h(x)$의 그래프 개형을 그려보자.

$g(1)$$g(1)$은 $F(x)-F(1)=0$$F(x)-F(1)=0$의 근의 개수이다.

실근의 개수는 $1$$1$

$\therefore$$\therefore~$True

ㄴ.

$y=h(x)$$y=h(x)$는 극값이 3개인 사차함수이다.

개형을 그려보면,

대충 이런 개형을 가질 것이고, $y=\delta$$y=\delta$와의 교점이 $3$$3$개이면 된다.

그리고 존재하는 것은 너무나 확실하다!

$\therefore$$\therefore~$True

ㄷ.

아무래도 사차함수 개형을 대충 그려보며 조건을 만족시키는 경우를 알아내자.

어?

극솟값이 일치하면?

조건을 만족시킨다!

그리고 $b=0,3$$b=0,~3$이니까

$h(x)=F(x)-F(t)=F(x)-C=\frac{1}{4}{x}^2(x-3{)}^2-C$$h(x)=F(x)-F(t)=F(x)-C=\cfrac 14 x^2 (x-3)^2 -C$로 표현할 수 있다!

$h^{\prime }(x)=f(x)=\frac{1}{2}x(x-3{)}^2+\frac{1}{2}{x}^2(x-3)$$h'(x)=f(x)=\cfrac 12 x(x-3)^2 +\cfrac 12 x^2 (x-3)$

$f(4)=10$$f(4)=10$

$\therefore$$\therefore~$False