2022년 10월 21번

21. 그림과 같이 $a>1$$a>1$인 실수 $a$$a$에 대하여 두 곡선

$$y=a^{-2x}-1,y=a^x-1$$

이 있다. 곡선 $y=a^{-2x}-1$$y=a^{-2x}-1$과 직선 $y=-\sqrt{3}x$$y=-\sqrt 3 x$가 서로 다른 두 점 $O,A$$O,~A$에서 만난다. 점 $A$$A$를 지나고 직선 $OA$$OA$에 수직인 직선이 곡선 $y=a^x-1$$y=a^x-1$과 제$1$$1$사분면에서 만나는 점을 $B$$B$라 하자. $\overline{OA}:\overline{OB}=\sqrt{3}:\sqrt{19}$$\overline{OA}:\overline{OB}=\sqrt 3:\sqrt{19}$일 때, 선분 $AB$$AB$의 길이를 구하시오. (단, $O$$O$는 원점이다.)

---

i. 생각

• 이거 이거 좌표를 구해서 계산하기에는...상당히 복잡하겠다?

• 어? 직선 기울기가 $-\sqrt{3},\frac{1}{\sqrt{3}}$$-\sqrt 3,~\cfrac 1{\sqrt 3}$이다?

  특수각인데??? 도형으로 접근이 가능하겠는데?

• $\overline{OA}=\sqrt{3}\alpha ,\overline{OB}=\sqrt{19}\alpha$$\overline{OA}=\sqrt 3 \alpha,~\overline{OB}=\sqrt {19}\alpha$라 하자.

ii.

• 다음 그림과 같이 $A$$A$에서 $x$$x$ 축에 내린 수선의 발을 $A^{\prime }$$A'$, $B$$B$에서 $x$$x$축에 내린 수선의 발을 $B^{\prime }$$B'$이라 하자.

  나머지 점들의 이름은 생략.

특수각을 이용해 길이를 표현하면,

$\overline{OC}=2\sqrt{3}\alpha ,\overline{CA}=3\alpha ,\overline{O{A}^{\prime }}=\frac{\sqrt{3}}{2}\alpha ,\overline{A{A}^{\prime }}=\sqrt{3}\alpha ,\overline{AD}=\alpha ,\overline{DO}=2\alpha$$\overline{OC}=2\sqrt 3\alpha, ~\overline{CA}=3\alpha,~\overline{OA'}=\cfrac {\sqrt 3}2\alpha,~\overline{AA'}=\sqrt 3\alpha,~\overline{AD}=\alpha, ~\overline{DO} =2\alpha$

$\overline{AB}=4\alpha (\mathrm{△}OAB)⟶\overline{3\alpha }$$\overline{AB}=4\alpha\quad (\triangle OAB)\quad \longrightarrow \quad \overline{3\alpha}$

이 길이를 구하는 목적은 $A,B$$A,~B$의 좌표를 구하기 위해서이다.

아무튼 이런 작업을 이용하여 좌표를 구하면,

• $A(-\frac{\sqrt{3}}{2}\alpha ,\frac{3}{2}\alpha )=A(-\frac{\sqrt{3}}{2}\alpha ,a^{\sqrt{3}\alpha }-1)$$A(-\cfrac {\sqrt 3}2\alpha,~\cfrac 32\alpha)=A(-\cfrac {\sqrt 3}2\alpha,~a^{\sqrt 3 \alpha}-1)$

  $\therefore \frac{2}{3}\alpha =a^{\sqrt{3}\alpha }-1$$\therefore~ \cfrac 23\alpha =a^{\sqrt 3\alpha}-1$

• $B(\frac{3\sqrt{3}}{2}\alpha ,\frac{7}{2}\alpha )=B(\frac{3\sqrt{3}}{2}\alpha ,a^{\frac{3\sqrt{3}}{2}\alpha }-1$$B(\cfrac {3\sqrt 3}2\alpha,~\cfrac 72\alpha)=B(\cfrac {3\sqrt 3}2\alpha ,~a^{\frac {3\sqrt 3}2\alpha}-1$

  $\therefore \frac{7}{2}\alpha =a^{\frac{3\sqrt{3}}{2}\alpha }-1$$\therefore~ \cfrac 72 \alpha =a^{\frac {3\sqrt 3}2\alpha}-1$

iii. $\alpha$$\alpha$를 구하자.

• $\frac{2}{3}\alpha +1=a^{\sqrt{3}\alpha }$$\cfrac 23\alpha +1=a^{\sqrt 3\alpha}$

• $\frac{7}{2}\alpha =a^{\frac{3\sqrt{3}}{2}\alpha }-1$$\cfrac 72 \alpha =a^{\frac {3\sqrt 3}2\alpha}-1$

계산이 좀 더럽겠다...

$(\frac{7}{2}\alpha +1{)}^2=a^{3\sqrt{3}\alpha },(\frac{2}{3}\alpha +1{)}^3=a^{3\sqrt{3}\alpha }$$(\cfrac 72 \alpha +1)^2=a^{3\sqrt 3\alpha},~(\cfrac 23\alpha +1)^3 =a^{3\sqrt 3 \alpha}$

$(\frac{7}{2}\alpha +1{)}^2=(\frac{2}{3}\alpha +1{)}^3$$(\cfrac 72\alpha +1)^2 =(\cfrac 23\alpha +1)^3$

$\alpha \ne 0$$\alpha\neq 0$임을 이용하면,

$27{\alpha }^2+54\alpha +36=0$$27\alpha^2 +54\alpha +36=0$

뭐야...인수분해 되나? 그냥 근의 공식을 쓰면..

$\alpha =2$$\alpha =2$

$\therefore 4\alpha =8$$\therefore~ 4\alpha =8$