2023학년도 09월 22번

22. 최고차항의 계수가 $1$$1$이고 $x=3$$x=3$에서 극댓값 $8$$8$을 갖는 삼차함수 $f(x)$$f(x)$가 있다. 실수 $t$$t$에 대하여 함수 $g(x)$$g(x)$를

$$\begin{array}{c}g(x)=\{\begin{array}{ll}f(x)& (x\ge t)\\ \\ -f(x)+2f(t)& (x<t)\end{array}\end{array}$$

라 할 때, 방정식 $g(x)=0$$g(x)=0$의 서로 다른 실근의 개수를 $h(t)$$h(t)$라 하자. 함수 $h(t)$$h(t)$가 $t=a$$t=a$에서 불연속인 $a$$a$의 값이 두 개일 때, $f(8)$$f(8)$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• $g(x)$$g(x)$는 연속인가?

  연속이네.. 허허허허

• $g(x)$$g(x)$가 의미하는 건 뭘까?

  $t$$t$보다 크거나 같으면 $f(x)$$f(x)$이고,

  $t$$t$보다 작으면 $y=f(t)$$y=f(t)$에 대하여 대칭이다?

ii. 풀자! 니미.....

아무래도 늘상 그렇듯 그래프의 개형을 그려보고 조건에 맞는 것을 뽑아내야겠다.

• $f(x)=0$$f(x)=0$의 근이 $1$$1$개일 때, ($f(\alpha )=0,\alpha <3$$f(\alpha)=0,~\alpha<3$)

  

  

  

  

  • $x<\alpha$$x<\alpha$이면 $h(t)=2$$h(t)=2$

  • $x=\alpha$$x=\alpha$이면 $h(\alpha )=1$$h(\alpha)=1$

  • $\alpha <x$$\alpha<x$일 때를 생각하자.

    • $3<\beta$$3<\beta$가 있고, $g(\beta )=0$$g(\beta)=0$이 되는 구간이 존재하지 않으면, $h(t)=0$$h(t)=0$

    • $3<\beta$$3<\beta$가 있고, $g(\beta )=0$$g(\beta)=0$이 되는 구간이 존재하면,

      $\alpha <x<\beta$$\alpha<x<\beta$ 에서 $h(t)=0$$h(t)=0$이고, $h(\beta )=1$$h(\beta)=1$

      $\beta <x$$\beta<x$일 때, $g(x)>0$$g(x)>0$이면 $h(t)=0$$h(t)=0$

      그런데, $\beta <\gamma$$\beta<\gamma$이고 $g(\gamma )<0$$g(\gamma)<0$인 지점이 존재하면? 또 불연속 발생한다.

어랏? 풀렸다!

다시 정리하면, 우선 $t=\alpha$$t=\alpha$에서 불연속이 확정이다.

이제 남은 건 불연속점이 한개만 나와야한다.

$t$$t$의 값이 극대값을 가지는 $3$$3$에서 극솟값 $\beta$$\beta$로 가는 동안 $g(x)<0$$g(x)<0$이 되는 점이 발생하면 불연속점이 최소 $2$$2$개 이상 발생한다. (대충 그래프 그려보면, )

이를 생각하면 $f(x)=0$$f(x)=0$의 근이 $2$$2$개나 $3$$3$개는 이미 탈락이다.

아무튼 위의 경우를 안 만들기 위해서는 $x=\beta$$x=\beta$에서 $y=f(x)$$y=f(x)$가 극솟값을 가질 때,

$t=\beta$$t=\beta$일 때, $y=g(x)$$y=g(x)$가 $x$$x$축에 접해야한다.

iii. 계산하자.

식이 상당히 복잡하네. 모든 삼차함수는 점대칭인 것을 이용하자. (https://hyner.tistory.com/1049)

$-f(3)+2f(\beta )=0$$-f(3)+2f(\beta)=0$

$\therefore f(\beta )=4$$\therefore~ f(\beta)=4$(극솟값)

$y=f(x)$$y=f(x)$는 $(a,6)$$(a,~6)$에 대해서 점대칭이다.

편하게 계산하기 위해서 $h^{\prime }(x)=3(x-\alpha )(x+\alpha )(\alpha >0)$$h'(x)=3(x-\alpha)(x+\alpha)~(\alpha>0)$라 하고, $h(x)$$h(x)$의 극댓값이 $2$$2$가 되는 $\alpha$$\alpha$를 구하자. 그리고 이 함수를 $x$$x$축과 $y$$y$축으로 평행이동하여 $f(x)$$f(x)$를 구하자. (물론, $h(x)$$h(x)$는 원점에 대해 점대칭이 되도록 정하자.)

 

• $h^{\prime }(x)=3x^2-3{\alpha }^2$$h'(x)=3x^2 -3\alpha^2$

  $h(x)=x^3-3{\alpha }^{2}x$$h(x)=x^3 -3\alpha^2 x$

  $h(-\alpha )=-{\alpha }^3+3{\alpha }^2=2$$h(-\alpha)=-\alpha^3 +3\alpha^2 =2$

  ${\alpha }^2=1$$\alpha^2 =1$

  $\therefore \alpha =1$$\therefore~ \alpha=1$

  $\therefore h(x)=x^3-3x$$\therefore~ h(x)=x^3 -3x$

  이 그래프가 $x=3$$x=3$에서 극댓값 $8$$8$을 가지기 위해서는 $x$$x$축으로 $4$$4$, $y$$y$축으로 $6$$6$만큼 이동시키면 된다.

$\therefore f(x)=(x-4{)}^3-3(x-4)+6$$\therefore~ f(x)=(x-4)^3 -3(x-4)+6$

$\therefore f(8)=4^3-3\cdot 4+6=58$$\therefore~ f(8)=4^3 -3\cdot 4+6=58$